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集合交集问题的安全计算:解读

本文记录阅读该paper的笔记。

摘要

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要点:
(1)集合的势:交/并集个数
(2)该文主要讨论三点:

  • 集合的势与阈值的大小关系
  • 集合的交/并集与元素的包含关系
  • 集合的交/并集的判定

(3)模拟范例:是安全性证明的方法

引言

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首先给出三个场景,依次分析一下:
(1)全部领导集合Q,全部员工集合P,员工满意领导的集合X,现想确定X中的数量大于阈值t
(2)用户信用判断(多个指标),每个机构P(一个指标)都有一个信用合格的用户名单X,现想确认一个用户是否在所有名单中X,即求一个元素是否在交集中。
(3)所有员工名单A,每个机构P(一个用户的信用指标)都有一个信用合格的用户名单X,现想判断A是否都在X的交集中,即一个集合是否在交集中。
下面也是主要分为这三块介绍。

预备知识

安全性定义

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模拟范例文中说参考:【Brief Report: Examining Driving Behavior in Young Adults with High Functioning Autism Spectrum Disorders:A Pilot Study Using a Driving Simulation Paradigm】,看着名字不像是安全性分析,倒是一个具体的场景实现。

这里是给出半诚实参与的安全性证明,模拟器的输入和输出与真实情况下是不可取分的,即在半诚实安全。

门限密码

门限密码体制是MPC中对抗合谋攻击的一个重要工具。

在门限密码体制中, n 个参与者 联合生成公钥, 解密密钥由 n 个参与者联合持有. 公钥可以直接加密消息, 但解密需要 n 个参与者中一定 数量人员参与才能正确解密,即如果至少需要 t 个人参与才能解密, 少于 t 个人时无法获取明文的任何信息,这样的密码体制称为 (t, n) 门限密码体制。

本文需要的是 (n, n) 门限密码体制。
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给出ELGamal的一个变体,是门限密码:
(1)密钥生成和ElGamal类似,n个私钥\(k_i\)(每人一个),一个公钥\(h\)
(2)加密是和ElGamal一样的,密文是两部分
(3)解密,是需要所有人的私钥才能解密成功
(4)具有“加法同态性”:\(E(m_1)E(m_2)=E(m_1+m_2)\),其实是密文相乘解密后相当于明文相加,当然这也算是具有同态性。
(5)这里的小素数$\rho $就是门限,有没有想到离散对数问题。

密文重随机化

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主要是因为:在下面加密选择和保密替换中,用户可能会通过观察\(M\),判读出上一个用户改变了什么,(透露出一些数据信息),所以需要对\(M\)中的密文重随机数化,即重新加密,密文改变,明文不变。

集合的势与阈值的大小关系

交集

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换成标准形式是:

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可以看到,目的就是判断交集的大小与阈值的大小关系。

原理

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  • 这里的阈值\(t\in Q\)\(t\)\(Q\)按说是没啥关系吧?\(t\)就是一个数。
  • 还有这里的\(Q\)\(l\)个元素,每个集合\(X\)也有\(l\)个元素,这个怎么搞?

按自己的意思举个例子理解一下:

Q=(1,2,3,4,5)
P1:X1=(1,2,3)
P2:X2=(2,3,4)
P3:X3=(3,4,5)
Alice:t=2
对于P1:M1=(1,1,1,0,0)
对于P2:M2=(0,1,1,0,0)
对于P3:M3=(0,0,1,0,0)
L=0+0+1+0+0=1
L-t<0,即输出为0

上面没有加入加密,没有安全性可言,下面加入加密:

方案

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注意:
(1)Alice将\(-t\)加密\(E(-t)\),发送给\(P_n\)
(2)\(P_n\)\(E(M_n)\)中的元素逐个相乘得到\(E(L)\),然后再将\(E(L)\)\(E(-t)\)相乘得到\(E(F)\),最后将\(E(F)\)随机化,得到\((u,v)\),并公布\(u\)
(3)Alice和n个用户都是参与者,所以有\(n+1\)个私钥\(k_i\)
(4)Alice和(n-1)和用户各自计算\(t_i=u^{k_i}\)
(5)\(P_n\)解密,这里需要联合解密(n+1个参与者)
(6)注意这里\(E(-t)*E(L)=E(L-t)\)(别忘了加法同态性!)

正确性和安全性分析

后面补充吧,先弄懂方案。

并集

这里改成并集,即求并集的大小与阈值的大小关系:

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该部分内容和前面几乎相同,只需对交集协议中的(3)步进行简单修改:

方案

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注意:
(1)这里的“保密替换”和交集相反。

正确性和安全性

参考交集

集合的交/并集与元素的包含关系

交集

该部分内容判断元素与集合交 集的关系:

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具体如下:
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原理和前面介绍的前 3 步相同,只需修改第 (4) 步和第 (5) 步:

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原理

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正确性和安全性

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这部分可不是模拟范例证明的!

并集

目的:
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方案

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集合的交/并集的判定

交集

目的:想要判断一个集合是否在交集中

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具体说:
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原理

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其就是就是将Alice也看作是一个参与者,最后求出交集的长度,与Alice集合的长度比较。
具体协议如下:
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注意:
(1)这里是Alice解密,\(P_i\)联合计算出\(t_i\)(n个)

正确性和安全性

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并集

目的:
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原理

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性能

从计算和通信消耗来看:

计算

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通信

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总结

以上协议的模指数运算依赖参与者的数量 n 和全集的势 l, 因此协议执行时间受参与者的数量 n 和全集的势 l 影响.
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