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概率机器人(1):有关概率的基本概念

目录

1.随机变量

2.概率

3.概率密度函数

4.联合分布

5.条件概率

6.全概率定理

7.贝叶斯准则(很重要)

8.期望

9.熵


1.随机变量

       在概率机器人建模时,如传感器测量、控制、机器人的状态及其环境这些都作为随机变量。随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。


2.概率

       令X为一个随机变量,x表示X的某一个特定值,那么p(X=x),一般可简写成p(x)​​​​​,​​代表随机变量X具有x值的概率。


3.概率密度函数

      连续随机变量都拥有概率密度函数,普通概率密度函数都是具有均值\mu和方差\sigma ^{2}的一维正态分布。

       正态分布的概率密度函数为:p(x)=(2\pi \sigma ^{2})^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}\frac{(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}

       多元正态分布的密度函数为:p(x)=det(2\pi \varepsilon )^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu )^{T}\varepsilon ^{-1}(x-\mu )},其中\mu为均值矢量,\varepsilon为半正定对称矩阵,称为协方差矩阵,上标T是向量转置符号。此概率密度函数中指数的参数x是二次的,二次函数的参数是\mu\varepsilon

       如果x为标量,且\varepsilon =\sigma ^{2},则两个定义是等效的。


4.联合分布

       两个随机变量XY的联合分布,随机变量X取值为x并且Y取值为y这一事件的概率,可写成p(x,y)=p(X=x,Y=y);如果X和Y相互独立,那么p(x,y)=p(x)p(y)


5.条件概率

       在Y=y事件发生下的X=x的概率为:p(x|y)=p(X=x|Y=y)  ;

       如果p(y)>0,则可写成p(x|y)=\frac{p(x,y)}{p(y)}

       如果XY相互独立,则可写成p(x,y)=\frac{p(x)p(y)}{p(y)}=p(x)


6.全概率定理

       离散情况:p(x)=\sum_{y}p(x|y)p(y)

       连续情况:p(x)=\int p(x|y)p(y)dy


7.贝叶斯准则(很重要)

       离散:p(x|y)=\frac{p(y|x)p(x)}{p(y)}=\frac{p(y|x)p(x)}{\sum_{x^{'}}p(y|x^{'})p(x^{'})}

       连续:p(x|y)=\frac{p(y|x)p(x)}{p(y)}=\frac{p(y|x)p(x)}{\int p(y|x^{'})p(x^{'})dx^{'}}

       归一化:p(y)^{-1}通常写成归一化变量\etap(x|y)=\eta p(y|x)p(x)


8.期望

      随机变量X的期望值为:对于离散,E(X)=\sum_{x}xp(x);对于连续,E(X)=\int xp(x)dx

      期望是随机变量的线性函数,具体来说,对于任意数值ab,有:E[aX+b]=aE(X)+b

      X的协方差可由期望求出:Cov[X]=E[X-E[X]]^{2}=E[X^{2}]-E[X]^{2}


9.熵

    一个概率分布的熵可表示为: H_{p}(x)=E[-log_{2}p(x)],熵是x所携带的期望信息;

     对于离散变量,H_{p}(x)=-\sum_{x}p(x)log_{2}p(x)

     对于连续变量H_{p}(x)=-\int p(x)log_{2}p(x)dx


参考书籍《概率机器人》



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