您好,欢迎访问代理记账网站
  • 价格透明
  • 信息保密
  • 进度掌控
  • 售后无忧

线性映射05——线性变换

文章目录

    • 线性变换
      • 线性变换举例
      • 各种变换
      • 线性变换的运算
    • 参考

线性变换

定 义 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1 } }} 1 线性空间 V \boldsymbol{V} V ,数域 F , T \boldsymbol{F}, \boldsymbol{T} F,T V \boldsymbol{V} V 中的变换. 若对 ∀ x , y ∈ V , ∀ k , l ∈ K \forall \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \boldsymbol{V}, \forall \boldsymbol{k}, \boldsymbol{l} \in \boldsymbol{K} x,yV,k,lK ,有加法不变性和数乘不变性,即

都有 T ( k x + l y ) = k ( T x ) + l ( T y ) , \boldsymbol{T}(\boldsymbol{k} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{l} \boldsymbol{y})=\boldsymbol{k}(\boldsymbol{T} \boldsymbol{x})+\boldsymbol{l}(\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}), \quad T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty), T \boldsymbol{T} T V \boldsymbol{V} V 中的线性变换.

线性变换:同一个 F \boldsymbol{F} F - 空间上的线性映射 A : V → V \mathcal{A}: \boldsymbol{V} \rightarrow \boldsymbol{V} A:VV

注 : \Large{\color{violet}{注:}} 线性变换是同构映射吗?二者有什么区别?前者是后者的特殊情况?还是 后者是前者的特殊情况?

几何变换:

(1) 坐标面上的投影: A x y : R 3 → R 3 , ( x , y , z ) ↦ ( x , y , 0 ) \mathcal{A}_{x y}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3},(x, y, z) \mapsto(x, y, 0) Axy:R3R3,(x,y,z)(x,y,0)

(2) 坐标轴上的投影: A z : ( x , y , z ) ↦ ( 0 , 0 , z ) \mathcal{A}_{z}:(x, y, z) \mapsto(\mathbf{0}, \mathbf{0}, z) Az:(x,y,z)(0,0,z)

(3) 关于坐标面的镜面反射: B x y : ( x , y , z ) ↦ ( x , y , − z ) \mathcal{B}_{x y}:(x, y, z) \mapsto(x, y,-z) Bxy:(x,y,z)(x,y,z)

(4)  绕  z  轴旋转:  C θ : ( x , y , z ) ↦ ( x , y , z ) ( cos ⁡ θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 ) \begin{array}{ll}\text { 绕 } z \text { 轴旋转: } & \mathcal{C}_{\theta}:(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, z) \mapsto(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{1}\end{array}\right)\end{array}   z 轴旋转Cθ:(x,y,z)(x,y,z)cosθsinθ0sinθcosθ0001

线性变换举例

投影变换:通过 T T T变换,使平面内的一个向量投影到一条直线上。

T T T就像一个函数:给定一个输入向量,经过 T T T的变换,输出成直线上的投影,下图中 v v v w w w R 2 R^{2} R2 空 间 内 的 向 量 , 通 过 T 变 换 变 成 了 直 线 上 的投影, 即 T ( v ) T(v) T(v) T ( w ) T( \mathbf{w}) T(w)​ :

image-20210527170745229

投影变换是线性变换:

在这里插入图片描述

V = R 3 V=R^{3} V=R3, 变换 Π α \Pi_{\alpha} Πα 为向量在 α \alpha α 上的内射影, 即:
Π α : R 3 → R 3 , ξ ↦ ( α , ξ ) ( α , α ) α , ∀ ξ ∈ R 3 \Pi_{\alpha}: R^{3} \rightarrow R^{3}, \xi \mapsto \frac{(\alpha, \xi)}{(\alpha, \alpha)} \alpha, \forall \xi \in R^{3} Πα:R3R3,ξ(α,α)(α,ξ)α,ξR3
易验证: ∀ ξ , η ∈ R 3 , ∀ k ∈ R \forall \xi, \eta \in R^{3}, \forall k \in R ξ,ηR3,kR

Π α ( ξ + η ) = Π α ( ξ ) + Π α ( η ) Π α ( k ξ ) = k ∏ α ( ξ ) \Pi_{\alpha}(\xi+\eta)=\Pi_{\alpha}(\xi)+\Pi_{\alpha}(\eta)\\ \Pi_{\alpha}(k \xi)=k \prod_{\alpha}(\xi) Πα(ξ+η)=Πα(ξ)+Πα(η)Πα(kξ)=kα(ξ)
V = P [ x ] \boldsymbol{V}=P[x] V=P[x] P [ x ] n P[x]_{n} P[x]n 上的求微商是一个 线性变换,用D表示,即
D : V → V , D ( f ( x ) ) = f ′ ( x ) , ∀ f ( x ) ∈ V D: V \rightarrow V, \quad D(f(x))=f^{\prime}(x), \forall f(x) \in V D:VV,D(f(x))=f(x),f(x)V

性 质 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{性质1 } }} 1

(1) 零变换: T ( 0 ) = T ( 0 x + 0 y ) = 0 ( T x ) + 0 ( T y ) = 0 T(0)=T(0 x+0 y)=0(T x)+0(T y)=0 T(0)=T(0x+0y)=0(Tx)+0(Ty)=0

(2) T ( − x ) = T ( ( − 1 ) x + 0 y ) = ( − 1 ) ( T x ) + 0 ( T y ) = − ( T x ) T(-x)=T((-1) x+0 y)=(-1)(T x)+0(T y)=-(T x) T(x)=T((1)x+0y)=(1)(Tx)+0(Ty)=(Tx)

(3) T ( ∑ i = 1 n c i α i ) = ∑ i = 1 n c i T ( α i ) ; \boldsymbol{T}\left(\sum_{i=1}^{n} c_{i} \alpha_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} c_{i} \boldsymbol{T} (\alpha_{i}) ; T(i=1nciαi)=i=1nciT(αi); 线性变换 T \boldsymbol{T} T保持线性组合及关系式不变。

(4) T ( ( α 1 , ⋯   , α n ) C ) = [ T ( α 1 , ⋯   , α n ) ] C , ∀ C = ( c i j ) n × m ∈ F n × m \boldsymbol{T}\left(\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\right) C\right)=\left[\boldsymbol{T}\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}\right)\right] C, \forall C=\left(c_{i j}\right)_{n \times m} \in F^{n \times m} T((α1,,αn)C)=[T(α1,,αn)]C,C=(cij)n×mFn×m

(5) x 1 , ⋯   , x m ∈ V x_{1}, \cdots, x_{m} \in V x1,,xmV 线性相关 ⇒ T x 1 , ⋯   , T x m \Rightarrow T x_{1}, \cdots, T x_{m} Tx1,,Txm 线性相关

(6) x 1 , ⋯   , x m ∈ V x_{1}, \cdots, x_{m} \in V x1,,xmV 线性无关时,不能推出 T x 1 , ⋯   , T x m \boldsymbol{T x}_{\mathbf{1}}, \cdots, \boldsymbol{T} \boldsymbol{x}_{m} Tx1,,Txm 线性无关.

(7) T T T 是线性变换 ⇔ T ( x + y ) = T x + T y , T ( k x ) = k ( T x ) \Leftrightarrow T(x+y)=T x+T y, T(k x)=k(T x) T(x+y)=Tx+Ty,T(kx)=k(Tx)
( ∀ x , y ∈ V , ∀ k ∈ F ) (\forall x, y \in V, \forall k \in F) (x,yV,kF)

定 理 1 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理1} }} 1 dim ⁡ V = n \operatorname{dim} V=n dimV=n, 取定 V V V 的一组基 α 1 , ⋯   , α n . \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} . α1,,αn. 那么对 V V V 中任意取定的 n n n 个向量 β 1 , ⋯   , β n \beta_{1}, \cdots, \beta_{n} β1,,βn, 存在唯一的线性变换 T : V → V \boldsymbol{T}: V \rightarrow V T:VV 使得
T α i = β i , 1 ≤ i ≤ n . \boldsymbol{T} \alpha_{i}=\beta_{i}, 1 \leq i \leq n . Tαi=βi,1in.

  • 平移整个平面是否是线性变换?

任意指定基向量组的像, 则唯一确定线性变换.

假设某个变换关系T是平面沿着某个方向平移 v 0 \mathbf{v}_{0} v0, 也就是说对于平面内的任意向量v,都有 T ( v ) = v + v 0 \mathrm{T}(\mathbf{v})=\mathbf{v}+\mathbf{v}_{0} T(v)=v+v0, T变换是否是线性变换?

这个看起来很简单的变换并不是线性变换,它违背了线性变换的两个不变性,以数乘不变性为例:
 If  v 0 ≠ 0 ,  then  T ( 2 v ) = 2 v + v 0 ≠ 2 v + 2 v 0 = 2 T ( v ) \text { If } v_{0} \neq 0, \quad \text { then } T(2 v)=2 v+v_{0} \neq 2 v+2 v_{0}=2 T(v)  If v0=0, then T(2v)=2v+v0=2v+2v0=2T(v)
线性变换的不变性要求对输入空间内的任意向量都成立,当然也包括零向量, 因此一个更简单的判断方法就是使用零向量。数乘不变性对于零向量来说将有T ( 0 ) = 0 (0)=0 (0)=0, 但本例中T ( 0 ) (0) (0) = v 0 =\mathbf{v}_{0} =v0, 所以说“平移"变换不是线性变换。

  • 求向量的长度是否是线性变换?

变换关系T ( v ) = ∥ v ∥ (\mathbf{v})=\|\mathbf{v}\| (v)=v 是否是线性变换?

T T T变换将产生维度的变化。假设v是一个三维向量,经过T的变换将变成一个大于等于0的实 数,也就是一维向量:
T : R 3 → R 1 T: R^{3} \rightarrow R^{1} T:R3R1
虽然本例满足T ( 0 ) = 0 (0)=0 (0)=0, 但是对于数乘不变性来说,如果c是负数,那么 T ( c v ) ≠ c T ( v ) T(\mathrm{cv}) \neq \mathrm{cT}(\mathbf{v}) T(cv)=cT(v), 因此 本例不是线性变换。

例 1 \Large\color{violet}{例1} 1 矩阵空间 R n × n , \mathbf{R}^{n \times n}, Rn×n, 给定矩阵 B n × n , \boldsymbol{B}_{n \times n}, Bn×n, 则变换 T X = B X + X B ( ∀ X ∈ R n × n ) \boldsymbol{T} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{X B} \quad\left(\forall \boldsymbol{X} \in \mathbf{R}^{n \times n}\right) TX=BX+XB(XRn×n) R n × n \mathbf{R}^{n \times n} Rn×n 的线性变换.

线性变换的值域: C ( T ) = { y ∣ y = T x , x ∈ V } \quad \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T})=\{\boldsymbol{y} \mid \boldsymbol{y}=\boldsymbol{T} \boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V}\} C(T)={yy=Tx,xV}

线性变换的核: N ( T ) = { x ∣ T x = 0 , x ∈ V } \quad N(\boldsymbol{T})=\{\boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{T} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}, \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V}\} N(T)={xTx=0,xV}

定 理 2 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理2} }} 2 T \boldsymbol{T} T 是线性空间 V \boldsymbol{V} V 的线性变换,则 C ( T ) \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}) C(T) N ( T ) \boldsymbol{N}(\boldsymbol{T}) N(T) 都是 V \boldsymbol{V} V 的子空间.

【证】(1) V V V 非空 ⇒ C ( T ) \Rightarrow C(T) C(T) 非空.
∀ y 1 ∈ C ( T ) ⇒ ∃ x 1 ∈ V ,  st  y 1 = T x 1 ∀ y 2 ∈ C ( T ) ⇒ ∃ x 2 ∈ V ,  st  y 2 = T x 2 y 1 + y 2 = T x 1 + T x 2 = T ( x 1 + x 2 ) ∈ C ( T ) ( ∵ x 1 + x 2 ∈ V ) k y 1 = k ( T x 1 ) = T ( k x 1 ) ∈ C ( T ) ( ∵ ∀ k ∈ F , k x 1 ∈ V ) \begin{array}{l} \forall y_{1} \in C(T) \Rightarrow \exists x_{1} \in V, \text { st } y_{1}=T x_{1} \\ \forall y_{2} \in C(T) \Rightarrow \exists x_{2} \in V, \text { st } y_{2}=T x_{2} \\ y_{1}+y_{2}=T x_{1}+T x_{2}=T\left(x_{1}+x_{2}\right) \in C(T) \quad\left(\because x_{1}+x_{2} \in V\right) \\ k y_{1}=k\left(T x_{1}\right)=T\left(k x_{1}\right) \in C(T) \quad\left(\because \forall k \in F, k x_{1} \in V\right) \end{array} y1C(T)x1V, st y1=Tx1y2C(T)x2V, st y2=Tx2y1+y2=Tx1+Tx2=T(x1+x2)C(T)(x1+x2V)ky1=k(Tx1)=T(kx1)C(T)(kF,kx1V)
C ( T ) \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}) C(T) V \boldsymbol{V} V 的子空间.

(2) θ ∈ V , T θ = θ ⇒ θ ∈ N ( T ) , \theta \in V, T \theta=\theta \Rightarrow \theta \in N(T), θV,Tθ=θθN(T), N ( T ) N(T) N(T) 非空.
∀ x , y ∈ N ( T ) ⇒ T ( x + y ) = T x + T y = θ ,  即  x + y ∈ N ( T ) ∀ x ∈ N ( T ) , ∀ k ∈ K ⇒ T ( k x ) = k ( T x ) = θ ,  即  k x ∈ N ( T ) . \begin{array}{l} \forall x, y \in N(T) \Rightarrow T(x+y)=T x+T y=\theta, \quad \text { 即 } x+y \in N(T) \\ \forall x \in N(T), \forall k \in K \Rightarrow T(k x)=k(T x)=\theta, \quad \text { 即 } k x \in N(T) . \end{array} x,yN(T)T(x+y)=Tx+Ty=θ,  x+yN(T)xN(T),kKT(kx)=k(Tx)=θ,  kxN(T).
N ( T ) N(T) N(T) V V V 的子空间.   \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{~} }}  

注 : \Large\color{violet}{注:} : T \boldsymbol{T} T 的秩 = dim ⁡ C ( T ) , T =\operatorname{dim} \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}), \boldsymbol{T} =dimC(T),T 的亏 = dim ⁡ N ( T ) =\operatorname{dim} N(\boldsymbol{T}) =dimN(T)

例 2 \Large\color{violet}{例2} 2 设线性空间 V n V^{n} Vn 的基为 x 1 , ⋯   , x n , T x_{1}, \cdots, x_{n}, \quad T x1,,xn,T V n V^{n} Vn 的线性变换,则
C ( T ) = L ( T x 1 , ⋯   , T x n ) , dim ⁡ C ( T ) + dim ⁡ N ( T ) = n \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T})=\boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{x}_{1}, \cdots, \boldsymbol{T} \boldsymbol{x}_{n}\right), \quad \operatorname{dim} \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T})+\operatorname{dim} N(\boldsymbol{T})=\boldsymbol{n} C(T)=L(Tx1,,Txn),dimC(T)+dimN(T)=n
【证】

(1) 先证 C ( T ) ⊂ L ( T x 1 , ⋯   , T x n ) : ∀ y ∈ C ( T ) ⇒ ∃ x ∈ V n , \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}) \subset \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{x}_{1}, \cdots, \boldsymbol{T} \boldsymbol{x}_{n}\right): \quad \forall \boldsymbol{y} \in \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}) \Rightarrow \exists \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V}^{n}, C(T)L(Tx1,,Txn):yC(T)xVn, st y = T x \boldsymbol{y}=\boldsymbol{T} \boldsymbol{x} y=Tx
x = c 1 x 1 + ⋯ + c n x n ⇒ y = c 1 ( T x 1 ) + ⋯ + c n ( T x n ) ∈ L ( T x 1 , ⋯   , T x n ) x=c_{1} x_{1}+\cdots+c_{n} x_{n} \Rightarrow y=c_{1}\left(T x_{1}\right)+\cdots+c_{n}\left(T x_{n}\right) \in L\left(T x_{1}, \cdots, T x_{n}\right) x=c1x1++cnxny=c1(Tx1)++cn(Txn)L(Tx1,,Txn)
再证 C ( T ) ⊃ L ( T x 1 , ⋯   , T x n ) : \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}) \supset \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{x}_{\mathbf{1}}, \cdots, \boldsymbol{T} \boldsymbol{x}_{n}\right): C(T)L(Tx1,,Txn):
∀ y ∈ L ( T x 1 , ⋯   , T x n ) ⇒ ∃ c 1 , ⋯   , c n ,  st  y = c 1 ( T x 1 ) + ⋯ + c n ( T x n ) x i ∈ V n ⇒ T x i ∈ C ( T ) ⇒ y = c 1 ( T x 1 ) + ⋯ + c n ( T x n ) ∈ C ( T ) \begin{array}{l} \forall y \in L\left(T x_{1}, \cdots, T x_{n}\right) \Rightarrow \exists c_{1}, \cdots, c_{n}, \text { st } y=c_{1}\left(T x_{1}\right)+\cdots+c_{n}\left(T x_{n}\right) \\ x_{i} \in V^{n} \Rightarrow T x_{i} \in C(T) \Rightarrow y=c_{1}\left(T x_{1}\right)+\cdots+c_{n}\left(T x_{n}\right) \in C(T) \end{array} yL(Tx1,,Txn)c1,,cn, st y=c1(Tx1)++cn(Txn)xiVnTxiC(T)y=c1(Tx1)++cn(Txn)C(T)
(2) 设 dim ⁡ N ( T ) = m , \operatorname{dim} N(T)=m, dimN(T)=m, N ( T ) N(T) N(T) 的基为 y 1 , ⋯   , y m , y_{1}, \cdots, y_{m}, y1,,ym, 扩充为 V n V^{n} Vn 的基:
y 1 , ⋯   , y m , y m + 1 , ⋯   , y n \boldsymbol{y}_{\mathbf{1}}, \cdots, \boldsymbol{y}_{m}, \boldsymbol{y}_{m+1}, \cdots, \boldsymbol{y}_{n} y1,,ym,ym+1,,yn
C ( T ) = L ( T y 1 , ⋯   , T y m , T y m + 1 , ⋯   , T y n ) = L ( T y m + 1 , ⋯   , T y n ) \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T})=\boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{1}, \cdots, \boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{m}, \boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{m+1}, \cdots, \boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{n}\right)=\boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{m+1}, \cdots, \boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{n}\right) C(T)=L(Ty1,,Tym,Tym+1,,Tyn)=L(Tym+1,,Tyn)

设数组 k m + 1 , ⋯   , k n \boldsymbol{k}_{m+1}, \cdots, \boldsymbol{k}_{n} km+1,,kn 使得 k m + 1 ( T y m + 1 ) + ⋯ + k n ( T y n ) = θ , \boldsymbol{k}_{m+1}\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{m+1}\right)+\cdots+\boldsymbol{k}_{n}\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}_{n}\right)=\boldsymbol{\theta}, km+1(Tym+1)++kn(Tyn)=θ,
T ( k m + 1 y m + 1 + ⋯ + k n y n ) = θ \boldsymbol{T}\left(\boldsymbol{k}_{m+1} \boldsymbol{y}_{m+1}+\cdots+\boldsymbol{k}_{n} \boldsymbol{y}_{n}\right)=\boldsymbol{\theta} T(km+1ym+1++knyn)=θ
因为 T \boldsymbol{T} T 是线性变换,所以 k m + 1 y m + 1 + ⋯ + k n y n ∈ N ( T ) , \boldsymbol{k}_{m+1} \boldsymbol{y}_{m+1}+\cdots+\boldsymbol{k}_{n} \boldsymbol{y}_{n} \in \boldsymbol{N}(\boldsymbol{T}), km+1ym+1++knynN(T),
k m + 1 y m + 1 + ⋯ + k n y n = I 1 y 1 + ⋯ + I m y m \boldsymbol{k}_{m+1} \boldsymbol{y}_{m+1}+\cdots+\boldsymbol{k}_{n} \boldsymbol{y}_{n}=\boldsymbol{I}_{1} \boldsymbol{y}_{1}+\cdots+\boldsymbol{I}_{m} \boldsymbol{y}_{m} km+1ym+1++knyn=I1y1++Imym

( − I 1 ) y 1 + ⋯ + ( − l m ) y m + k m + 1 y m + 1 + ⋯ + k n y n = θ \left(-I_{1}\right) y_{1}+\cdots+\left(-l_{m}\right) y_{m}+k_{m+1} y_{m+1}+\cdots+k_{n} y_{n}=\theta (I1)y1++(lm)ym+km+1ym+1++knyn=θ
因为 y 1 , ⋯   , y m , y m + 1 , ⋯   , y n \boldsymbol{y}_{\mathbf{1}}, \cdots, \boldsymbol{y}_{m}, \boldsymbol{y}_{m+1}, \cdots, \boldsymbol{y}_{n} y1,,ym,ym+1,,yn 线性无关,所以 k m + 1 = 0 , ⋯   , k n = 0. \boldsymbol{k}_{m+1}=\mathbf{0}, \cdots, \boldsymbol{k}_{n}=\mathbf{0} . km+1=0,,kn=0. 因此 T y m + 1 , ⋯   , T y n T y_{m+1}, \cdots, T y_{n} Tym+1,,Tyn 线性无关,从而 dim ⁡ C ( T ) = n − m , \operatorname{dim} \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T})=\boldsymbol{n}-\boldsymbol{m}, dimC(T)=nm, dim ⁡ C ( T ) + m = n . \operatorname{dim} \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T})+\boldsymbol{m}=\boldsymbol{n} . dimC(T)+m=n.

例 3 \Large\color{violet}{例 3 } 3 向量空间 R 4 \mathbf{R}^{4} R4 中, x = ( ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 , ξ 4 ) , \boldsymbol{x}=\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}, \xi_{4}\right), x=(ξ1,ξ2,ξ3,ξ4), 线性变换 T \boldsymbol{T} T

T x = ( ξ 1 + ξ 2 − 3 ξ 3 − ξ 4 , 3 ξ 1 − ξ 2 − 3 ξ 3 + 4 ξ 4 , 0 , 0 ) T x=\left(\xi_{1}+\xi_{2}-3 \xi_{3}-\xi_{4}, 3 \xi_{1}-\xi_{2}-3 \xi_{3}+4 \xi_{4}, 0,0\right) Tx=(ξ1+ξ23ξ3ξ4,3ξ1ξ23ξ3+4ξ4,0,0)
C ( T ) \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}) C(T) N ( T ) N(\boldsymbol{T}) N(T) 的基与维数.

【解】

(1) 取 R 4 \mathbf{R}^{4} R4 的简单基 e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , \boldsymbol{e}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{e}_{\mathbf{2}}, \boldsymbol{e}_{\mathbf{3}}, \boldsymbol{e}_{\mathbf{4}}, \quad e1,e2,e3,e4, 计算
T e 1 = ( 1 , 3 , 0 , 0 ) , T e 2 = ( 1 , − 1 , 0 , 0 ) , T e 3 = ( − 3 , − 3 , 0 , 0 ) , T e 4 = ( − 1 , 4 , 0 , 0 ) T e_{1}=(1,3,0,0), T e_{2}=(1,-1,0,0), T e_{3}=(-3,-3,0,0), T e_{4}=(-1,4,0,0) Te1=(1,3,0,0),Te2=(1,1,0,0),Te3=(3,3,0,0),Te4=(1,4,0,0)
该基象组的一个最大线性无关组为 T e 1 , T e 2 . \boldsymbol{T e}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{T e}_{2} . Te1,Te2.

dim ⁡ C ( T ) = 2 , \operatorname{dim} \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T})=\mathbf{2}, dimC(T)=2, C ( T ) \boldsymbol{C}(\boldsymbol{T}) C(T) 的一个基为 T e 1 , T e 2 \boldsymbol{T e}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{T e}_{2} Te1,Te2
(2) 记 A = [ 1 1 − 3 − 1 3 − 1 − 3 4 ] , A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 1 & -3 & -1 \\ 3 & -1 & -3 & 4\end{array}\right], \quad A=[13113314], N ( T ) = { x ∣ T x = θ } = { x ∣ A [ ξ 1 ⋮ ξ 4 ] = 0 } N(T)=\{x \mid T x=\theta\}=\left\{x \mid A\left[\begin{array}{c}\xi_{1} \\ \vdots \\ \xi_{4}\end{array}\right]=0\right\} N(T)={xTx=θ}=xAξ1ξ4=0
的基础解系为 [ 3 3 2 0 ] , [ − 3 7 0 4 ] \left[\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{r}-3 \\ 7 \\ 0 \\ 4\end{array}\right] 3320,3704.

dim ⁡ N ( T ) = 2 , \operatorname{dim} N(T)=2, dimN(T)=2, N ( T ) N(T) N(T) 的一个基为 ( 3 , 3 , 2 , 0 ) , ( − 3 , 7 , 0 , 4 ) . (3,3,2,0),(-3,7,0,4) . (3,3,2,0),(3,7,0,4).

各种变换

单位变换: 线性空间 V \boldsymbol{V} V 中,定义变换 T \boldsymbol{T} T T x = x ( ∀ x ∈ V ) \boldsymbol{T x}=\boldsymbol{x} \quad(\forall \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V}) Tx=x(xV) ,则 T \boldsymbol{T} T 是线性变换,记作 T e . \boldsymbol{T}_{e} . Te.

零变换: 线性空间 V V V 中,定义变换 T \boldsymbol{T} T T x = 0 ( ∀ x ∈ V ) \boldsymbol{T} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \quad(\forall \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V}) Tx=0(xV) ,则 T \boldsymbol{T} T 是线性变换,记作 T 0 \boldsymbol{T}_{\mathbf{0}} T0.

逆变换: 设 T \boldsymbol{T} T 是线性空间 V \boldsymbol{V} V 的线性变换,若 V \boldsymbol{V} V 的线性变换 S \boldsymbol{S} S 满足
( S T ) x = ( T S ) x = x ( ∀ x ∈ V ) , T S = E (S T) x=(T S) x=x \quad(\forall x \in V),T S = E (ST)x=(TS)x=x(xV),TS=E
则称 T \boldsymbol{T} T 为可逆变换,且 S \boldsymbol{S} S T \boldsymbol{T} T 的逆变换,记作 T − 1 = S \boldsymbol{T}^{\mathbf{- 1}}=\boldsymbol{S} T1=S.

定 理 3 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理3} }} 3 . 可逆线性映射的逆映射也是线性映射,可逆线性变换的逆变换也是线性变换

证明: 设 B : V 2 → V 1 \mathcal{B}: V_{2} \rightarrow V_{1} B:V2V1 是可逆线性映射 A : V 1 → V 2 \mathcal{A}: V_{1} \rightarrow V_{2} A:V1V2 的逆映射

∀ α 2 , β 2 ∈ V 2 , c ∈ F \forall \alpha_{2}, \beta_{2} \in V_{2}, c \in F \quad α2,β2V2,cF B α 2 = α 1 , B β 2 = β 1 ∈ V 1 ⇒ A α 1 = α 2 , A β 1 = β 2 \mathcal{B} \alpha_{2}=\alpha_{1}, \mathcal{B} \beta_{2}=\beta_{1} \in V_{1} \Rightarrow \mathcal{A} \alpha_{1}=\alpha_{2}, \mathcal{A} \beta_{1}=\beta_{2} Bα2=α1,Bβ2=β1V1Aα1=α2,Aβ1=β2

A \mathcal{A} A 是线性映射 ⇒ A ( α 1 + β 1 ) = A α 1 + A β 1 = α 2 + β 2 A ( c α 1 ) = c A α 1 = c α 2 \Rightarrow \mathcal{A}\left(\alpha_{1}+\beta_{1}\right)=\mathcal{A} \alpha_{1}+\mathcal{A} \beta_{1}=\alpha_{2}+\beta_{2} \quad \mathcal{A}\left(c \alpha_{1}\right)=c \mathcal{A} \alpha_{1}=c \alpha_{2} A(α1+β1)=Aα1+Aβ1=α2+β2A(cα1)=cAα1=cα2

B \mathcal{B} B A \mathcal{A} A 的逆映射 ⇒ B ( α 2 + β 2 ) = α 1 + β 1 = B α 2 + B β 2 B ( c α 2 ) = c α 1 + β 1 = c B α 2 \Rightarrow \mathcal{B}\left(\alpha_{2}+\beta_{2}\right)=\alpha_{1}+\beta_{1}=\mathcal{B} \alpha_{2}+\mathcal{B} \beta_{2} \quad \mathcal{B}\left(c \alpha_{2}\right)=c \alpha_{1}+\beta_{1}=c \mathcal{B} \alpha_{2} B(α2+β2)=α1+β1=Bα2+Bβ2B(cα2)=cα1+β1=cBα2 ⇒ B \Rightarrow \mathcal{B} B 是线性映射

定 理 4 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理4} }} 4 ( 1 ) (1) (1) A \mathcal{A} A V V V 上的线性变换,则 : A : \mathcal{A} :A 可逆 ⇔ ker ⁡ A = O . \Leftrightarrow \operatorname{ker} \mathcal{A}=O . kerA=O.

(2) 若 A \mathcal{A} A 是可逆变换, 假设 α 1 , ⋯   , α n \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n} α1,,αn V V V 的一组基, 则 A α 1 , ⋯   , A α n \mathcal{A} \alpha_{1}, \cdots, \mathcal{A} \alpha_{n} Aα1,,Aαn V V V 的一组基. 即 A α 1 , ⋯   , A α n \mathcal{A} \alpha_{1}, \cdots, \mathcal{A} \alpha_{n} Aα1,,Aαn线性无关.

幕变换: 设 T \boldsymbol{T} T 是线性空间 V \boldsymbol{V} V 的线性变换,则 T m =  def  T m − 1 T ( m = 2 , 3 , ⋯   ) \boldsymbol{T}^{m} \stackrel{\text { def }}{=} \boldsymbol{T}^{m-1} \boldsymbol{T}(\boldsymbol{m}=\mathbf{2}, \mathbf{3}, \cdots) Tm= def Tm1T(m=2,3,) 也是 V \boldsymbol{V} V 的线性变换.

定义:设 σ \sigma σ 为线性空间 的线性变换,n为自然数,定义
σ n = σ ⋯ σ ⏟ n  ,  \sigma^{n}=\underbrace{\sigma \cdots \sigma}_{n} \text { , } σn=n σσ , 
称之为 σ \sigma σ 的n次幕.当 n = 0 n=0 n=0 时, 规定 σ 0 = E ( \sigma^{0}=E( σ0=E( 单位变换).

注: (1) 易证 σ m + n = σ m σ n , ( σ m ) n = σ m n , m , n ≥ 0 \sigma^{m+n}=\sigma^{m} \sigma^{n},\left(\sigma^{m}\right)^{n}=\sigma^{m n}, \quad m, n \geq 0 σm+n=σmσn,(σm)n=σmn,m,n0

(2) 当 σ \sigma σ 为可逆变换时,定义 σ \sigma σ 的负整数幕为
σ − n = ( σ − 1 ) n \sigma^{-n}=\left(\sigma^{-1}\right)^{n} σn=(σ1)n
(3) 一般地, ( σ τ ) n ≠ σ n τ n (\sigma \tau)^{n} \neq \sigma^{n} \tau^{n} (στ)n=σnτn.

多项式变换: 设 T \boldsymbol{T} T 是线性空间 V \boldsymbol{V} V 的线性变换,多项式
f ( t ) = a 0 + a 1 t + ⋯ + a m t m ( a i ∈ K ) \boldsymbol{f}(\boldsymbol{t})=\boldsymbol{a}_{0}+\boldsymbol{a}_{1} \boldsymbol{t}+\cdots+\boldsymbol{a}_{m} \boldsymbol{t}^{m} \quad\left(\boldsymbol{a}_{i} \in \boldsymbol{K}\right) f(t)=a0+a1t++amtm(aiK)
f ( T ) = a 0 E + a 1 T + ⋯ + a m T m \boldsymbol{f}(\boldsymbol{T})=\boldsymbol{a}_{0} \boldsymbol{E} +\boldsymbol{a}_{1} \boldsymbol{T}+\cdots+\boldsymbol{a}_{m} \boldsymbol{T}^{m} f(T)=a0E+a1T++amTm 也是 V \boldsymbol{V} V 的线性变换. f ( T ) \boldsymbol{f}(\boldsymbol{T}) f(T) T \boldsymbol{T} T 的多项式.

注: (1) 在 P [ x ] P[x] P[x] 中, 若 h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , p ( x ) = f ( x ) g ( x ) h(x)=f(x)+g(x), \quad p(x)=f(x) g(x) h(x)=f(x)+g(x),p(x)=f(x)g(x)

则有, h ( σ ) = f ( σ ) + g ( σ ) , p ( σ ) = f ( σ ) g ( σ ) h(\sigma)=f(\sigma)+g(\sigma), \quad p(\sigma)=f(\sigma) g(\sigma) h(σ)=f(σ)+g(σ),p(σ)=f(σ)g(σ)

(2) 对 ∀ f ( x ) , g ( x ) ∈ P [ x ] \forall f(x), g(x) \in P[x] f(x),g(x)P[x], 有
f ( σ ) + g ( σ ) = g ( σ ) + f ( σ ) f ( σ ) g ( σ ) = g ( σ ) f ( σ ) \begin{array}{l} f(\sigma)+g(\sigma)=g(\sigma)+f(\sigma) \\ f(\sigma) g(\sigma)=g(\sigma) f(\sigma) \end{array} f(σ)+g(σ)=g(σ)+f(σ)f(σ)g(σ)=g(σ)f(σ)

例 4 \Large\color{violet}{例 4 } 4. R 3 × 3 \mathbb{R}^{3 \times 3} R3×3 的如下哪些线性变换是可逆线性变换?为什么?

(1) 转置变换 A : A ↦ A T ; \quad \mathcal{A}: A \mapsto A^{T} ; \quad A:AAT;

(2) 对称化变换 B : A ↦ 1 2 ( A + A T ) \quad \mathcal{B}: A \mapsto \frac{1}{2}\left(A+A^{T}\right) B:A21(A+AT)

(3) 右乘某矩阵 B , C : A ↦ A B . B, \quad \mathcal{C}: A \mapsto A B . B,C:AAB.

解: A \mathcal{A} A 可逆: \quad ker A = { A ∈ R 3 × 3 ∣ A T = O } = O \mathcal{A}=\left\{A \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \mid A^{T}=O\right\}=O A={AR3×3AT=O}=O

B \mathcal{B} B 不可逆: 设 A A A 是任一非零反对称矩阵, 则 B ( A ) = 1 2 ( A + A T ) = O \quad \mathcal{B}(A)=\frac{1}{2}\left(A+A^{T}\right)=O B(A)=21(A+AT)=O

C \mathcal{C} C 可逆 ⇔ O = ker ⁡ C = { A ∈ R 3 × 3 ∣ A B = O } ⇔ B \Leftrightarrow O=\operatorname{ker} \mathcal{C}=\left\{A \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \mid A B=O\right\} \Leftrightarrow B O=kerC={AR3×3AB=O}B 是可逆矩阵

例 5 \Large\color{violet}{例 5 } 5:设 A = ( 1 2 3 a ) A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & a\end{array}\right) A=(132a), 线性变换 A : R 2 → R 2 , X ↦ A X , ∀ X ∈ R 2 \mathcal{A}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, X \mapsto A X, \forall X \in \mathbb{R}^{2} A:R2R2,XAX,XR2, 何时 A \mathcal{A} A 可逆?

解: A \mathcal{A} A 可逆 ⇔ O = \Leftrightarrow O= O= ker A = { X ∈ R 2 ∣ A X = 0 } ⇔ A X = 0 \mathcal{A}=\left\{X \in \mathbb{R}^{2} \mid A X=0\right\} \Leftrightarrow A X=0 A={XR2AX=0}AX=0 只有零解 ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 ⇔ a ≠ 6 \Leftrightarrow|A| \neq 0 \Leftrightarrow a \neq 6 A=0a=6

线性变换的运算

线性变换的运算: 线性空间 V V V ,数域 F , \boldsymbol{F}, F, 线性变换 T 1 \boldsymbol{T}_{\mathbf{1}} T1 T 2 \boldsymbol{T}_{2} T2.

(1) 相等: 若 T 1 x = T 2 x ( ∀ x ∈ V ) , T_{1} x=T_{2} x(\forall x \in V), T1x=T2x(xV), T 1 = T 2 . T_{1}=T_{2} . T1=T2.

(2) 加法: 定义变换 T \boldsymbol{T} T T x = T 1 x + T 2 x ( ∀ x ∈ V ) \boldsymbol{T x}=\boldsymbol{T}_{1} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{T}_{\mathbf{2}} \boldsymbol{x} \quad(\forall \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V}) Tx=T1x+T2x(xV), 其中 T = T 1 + T 2 \boldsymbol{T}=\boldsymbol{T}_{\mathbf{1}}+\boldsymbol{T}_{2} T=T1+T2,则 T \boldsymbol{T} T 是线性变换,

满足交换律: T 1 + T 2 = T 2 + T 1 \boldsymbol{T}_{1}+\boldsymbol{T}_{2}=\boldsymbol{T}_{2}+\boldsymbol{T}_{1} T1+T2=T2+T1

满足结合律: ( T 1 + T 2 ) + T 3 = T 1 + ( T 2 + T 3 ) (\boldsymbol{T}_{1}+\boldsymbol{T}_{2})+\boldsymbol{T}_{3}=\boldsymbol{T}_{1}+(\boldsymbol{T}_{2}+\boldsymbol{T}_{3}) (T1+T2)+T3=T1+(T2+T3)

0 + T 2 = T 2 + 0 = T 2 , 0 0+\boldsymbol{T}_{2}=\boldsymbol{T}_{2}+0=\boldsymbol{T}_{2}, 0 0+T2=T2+0=T2,0 为零变换.

负变换: 定义变换 T \boldsymbol{T} T − T x = − ( T x ) ( ∀ x ∈ V ) -\boldsymbol{T x}=-\left(\boldsymbol{T} \boldsymbol{x}\right) \quad(\forall \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V}) Tx=(Tx)(xV) ,则 T \boldsymbol{T} T 是线性变换, \quad 使得: T + ( − T ) = 0 \boldsymbol{T}+(-\boldsymbol{T})=0 T+(T)=0

(3) 数乘: 给定 k ∈ F \boldsymbol{k} \in \boldsymbol{F} kF ,定义变换 T \boldsymbol{T} T T x = k ( T 1 x ) ( ∀ x ∈ V ) \boldsymbol{T} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{k}\left(\boldsymbol{T}_{1} \boldsymbol{x}\right) \quad(\forall \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V}) Tx=k(T1x)(xV),则 T \boldsymbol{T} T 是线性变换, \quad 记作 T = k T 1 . \boldsymbol{T}=\boldsymbol{k} \boldsymbol{T}_{1} . T=kT1.

  • $1 \boldsymbol{T} =\boldsymbol{T} $
  • ( k l ) T = k ( l T ) (k l) \boldsymbol{T} =k(l \boldsymbol{T} ) (kl)T=k(lT)
  • $(k+l) \boldsymbol{T} =k \boldsymbol{T} +l \boldsymbol{T} $
  • k ( T 1 + T 2 ) = k T 1 + k T 2 k(\boldsymbol{T}_1 +\boldsymbol{T}_2)=k \boldsymbol{T}_1+k \boldsymbol{T}_2 k(T1+T2)=kT1+kT2

注 : \Large\color{violet}{注:} : 集合 Hom ⁡ ( V , V ) =  def  { T ∣ T \operatorname{Hom}(\boldsymbol{V}, \quad \boldsymbol{V})\stackrel{\text { def }}{=}\{\boldsymbol{T} \mid \boldsymbol{T} Hom(V,V)= def {TT 是数域 F \boldsymbol{F} F 上的线性空间 V \boldsymbol{V} V 的线性变换 } \} }

按照线性运算(2)和(3)构成数域 F \boldsymbol{F} F 上的线性空间,称为 V \boldsymbol{V} V 的同态.

(4) 乘法: 定义变换 T \boldsymbol{T} T T x = T 1 ( T 2 x ) ( ∀ x ∈ V ) \boldsymbol{T x}=\boldsymbol{T}_{1} (\boldsymbol{T}_{\mathbf{2}} \boldsymbol{x}) \quad(\forall \boldsymbol{x} \in \boldsymbol{V}) Tx=T1(T2x)(xV),则 T \boldsymbol{T} T 是线性变换, 记作 T = T 1 T 2 \boldsymbol{T}=\boldsymbol{T}_{1} \boldsymbol{T}_{2} T=T1T2

∀ A , B ∈ E n d ( V ) , c ∈ F \forall \mathcal{A}, \mathcal{B} \in \mathbf{E n d}(V), c \in \boldsymbol{F} A,BEnd(V),cF, 规定 End ⁡ ( V ) \operatorname{End}(V) End(V) 上的加法, F \boldsymbol{F} F -数乘与乘法如下:
A + B : α ↦ A ( α ) + B ( α ) , c A : α ↦ c A ( α ) , A B : α ↦ A ( B α ) , ∀ α ∈ V \mathcal{A}+\mathcal{B}: \alpha \mapsto \mathcal{A}(\alpha)+\mathcal{B}(\alpha), \quad c \mathcal{A}: \alpha \mapsto c \mathcal{A}(\alpha), \quad \mathcal{A B}: \alpha \mapsto \mathcal{A}(\mathcal{B} \alpha), \forall \alpha \in V A+B:αA(α)+B(α),cA:αcA(α),AB:αA(Bα),αV
定 理 5 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理5} }} 5. 设 A , B , C ∈ End ⁡ ( V ) , a , b ∈ F \mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C} \in \operatorname{End}(V), a, b \in F A,B,CEnd(V),a,bF, 则

(1) End ⁡ ( V ) \operatorname{End}(V) End(V) 关于加法与数乘构成线性空间;

(2) 乘法满足结合律, 即 ( A B ) C = A ( B C ) (\mathcal{A B}) \mathcal{C}=\mathcal{A}(\mathcal{B C}) (AB)C=A(BC)

(3) 乘法对加法成立左右 分配律: A ( B + C ) = A B + A C \quad \mathcal{A}(\mathcal{B}+\mathcal{C})=\mathcal{A B}+\mathcal{A} \mathcal{C} A(B+C)=AB+AC
( B + C ) A = B A + C A (\mathcal{B}+\mathcal{C}) \mathcal{A}=\mathcal{B} \mathcal{A}+\mathcal{C} \mathcal{A} (B+C)A=BA+CA
(4) End ⁡ ( V ) \operatorname{End}(V) End(V) 中的数乘与乘法运算满足: k ( A B ) = ( k A ) B = A ( k B ) k(\mathcal{A B})=(\boldsymbol{k} \mathcal{A}) \mathcal{B}=\mathcal{A}(\boldsymbol{k B}) k(AB)=(kA)B=A(kB).

定 理 6 \large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定理6} }} 6. 设 V V V 是有限维 F − \boldsymbol{F}- F 空间, A ∈ End ⁡ ( V ) \mathcal{A} \in \operatorname{End}(V) AEnd(V), 那么如下条件等价:

(1) A \mathcal{A} A 可逆;

(2) 存在 B : V → V \mathcal{B}: V \rightarrow V B:VV 使得 A B = 1 V ; \mathcal{A B}=\mathbf{1}_{V} ; AB=1V;

(3) 存在 C : V → V \mathcal{C}: \boldsymbol{V} \rightarrow \boldsymbol{V} C:VV 使得 C A = 1 V \mathcal{C A}=\mathbf{1}_{V} CA=1V.

线性变换的方幂, 多项式

(1) A 0 = 1 V , A 1 = A , A 2 = A ⋅ A , ⋯   , A n = A ⋅ A ⋯ ⋅ A ⏟ n ↑ , ⋯ \mathcal{A}^{0}=\mathbf{1}_{V}, \mathcal{A}^{1}=\mathcal{A}, \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A} \cdot \mathcal{A}, \cdots, \mathcal{A}^{n}=\underbrace{\mathcal{A} \cdot \mathcal{A} \cdots \cdot \mathcal{A}}_{n \uparrow}, \cdots A0=1V,A1=A,A2=AA,,An=n AAA,
(2) A \mathcal{A} A 可逆时, 规定 A − n = ( A − 1 ) n \mathcal{A}^{-n}=\left(\mathcal{A}^{-1}\right)^{n} An=(A1)n

(3) 对 f ( x ) = a m x m + a m − 1 x m − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 ∈ F [ x ] f(x)=a_{m} x^{m}+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \in F[x] f(x)=amxm+am1xm1++a1x+a0F[x],规定
f ( A ) = a m A m + a m − 1 A m − 1 + ⋯ + a 1 A + a 0 1 ν f(\mathcal{A})=\boldsymbol{a}_{m} \mathcal{A}^{m}+\boldsymbol{a}_{m-1} \mathcal{A}^{m-1}+\cdots+\boldsymbol{a}_{1} \mathcal{A}+\boldsymbol{a}_{0} \mathbf{1}_{\boldsymbol{\nu}} f(A)=amAm+am1Am1++a1A+a01ν

例 6 \Large\color{violet}{例 6 } 6.在 F [ x ] \boldsymbol{F}[\boldsymbol{x}] F[x] 中,设线性变换 A , B \mathcal{A}, \mathcal{B} A,B 定义如下:
A ( f ( x ) ) = f ′ ( x ) , B ( f ( x ) ) = x f ( x ) , ∀ f ( x ) ∈ F [ x ] \mathcal{A}(f(x))=f^{\prime}(x), \quad \mathcal{B}(f(x))=x f(x), \forall f(x) \in F[x] A(f(x))=f(x),B(f(x))=xf(x),f(x)F[x]
计算 A B − B A . \mathcal{A B}-\mathcal{B} \mathcal{A} . ABBA.

解: ∀ f ( x ) ∈ F [ x ] \quad \forall f(x) \in F[x] f(x)F[x],
( A ⋅ B − B ⋅ A ) f ( x ) = ( A B ) f ( x ) − ( B A ) f ( x ) = A ( B f ( x ) ) − B ( A f ( x ) ) = A ( x f ( x ) ) − B ( f ′ ( x ) ) = ( x f ( x ) ) ′ − x f ′ ( x )              = f ( x ) = 1 F [ x ] ( f ( x ) ) ⇒ A B − B A = 1 F [ x ] \begin{aligned} &(\mathcal{A} \cdot \mathcal{B}-\mathcal{B} \cdot \mathcal{A}) f(\boldsymbol{x})=(\mathcal{A B}) f(\boldsymbol{x})-(\mathcal{B} \mathcal{A}) f(\boldsymbol{x}) \\ =& \mathcal{A}(\mathcal{B} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}))-\mathcal{B}(\mathcal{A} \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})) \quad=\mathcal{A}(\boldsymbol{x} f(\boldsymbol{x}))-\mathcal{B}\left(\boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{x})\right) \\ =&(\boldsymbol{x} f(\boldsymbol{x}))^{\prime}-x \boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{x}) ~~~~~~~~~~~~=f(\boldsymbol{x})=1_{F[x]}(f(x)) \quad \Rightarrow \mathcal{A B}-\mathcal{B} \mathcal{A}=\mathbf{1}_{F[x]} \end{aligned} ==(ABBA)f(x)=(AB)f(x)(BA)f(x)A(Bf(x))B(Af(x))=A(xf(x))B(f(x))(xf(x))xf(x)            =f(x)=1F[x](f(x))ABBA=1F[x]

参考

高等代数 电子科技大学

高等代数_安阳师范学院

《高等代数》(第五版)


分享:

低价透明

统一报价,无隐形消费

金牌服务

一对一专属顾问7*24小时金牌服务

信息保密

个人信息安全有保障

售后无忧

服务出问题客服经理全程跟进