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信道均衡之线性均衡——迫零滤波器

  在通讯系统中,信道是影响信号传输质量的最重要因素,而信道均衡目的是则为了消除信道的影响。

  一个基带传输的通信系统的简单示意图如图1,数字信号m(n)经过单位冲激响应为ht(t)的发送滤波器后,变成模拟信号 s(t),  然后通过的单位冲激响应为hc(t)的信道。通过信道后,不仅会产生失真(主要考虑ISI),也会受到噪声n(t)的影响(这里假设信道的噪声是加性高斯白噪声,AWGN,功率为N0/2)。均衡器的目的是消除信道的影响,使得经过采样后的信号y(n)质量最好。均衡器可以做在接收端,用接收滤波器实现,也可以做在发送端,用发送滤波器实现。这里我们以均衡器做在接收端为例,即接收滤波器就是均衡器。最后,判决器(slicer)会对y(n)进行判决,如果整个信号传输过程没有出现错误,那么得到的b(n)就是发送信号m(n).

 

图1 基带传输通信系统

 

  在《信道均衡之匹配滤波器》中讲过,如果接收滤波器(即均衡器)使得y(n)的SNR最大,那么这时候对应的接收滤波器就是匹配滤波器。

  信道会使得信号产生失真,这里我们先忽略信道噪声n(t)的影响。如图2所示,发送端发送的s(t)为一个二进制信号,经过信道作用后, c(t)产生了失真。同样发射的信号为1,但是在3T和4T的采样时刻, c(t)的大小却不一样。究其原因主要是c(t)中前后几个符号之间的干扰导致的,这种干扰就是ISI。如果没有接收滤波器做均衡,那么y(t)和c(t)一样会受到ISI的影响。

 

图2 符号间干扰(ISI)

  

  这里我们还有要提到y(n)的信号质量最好指的是什么?匹配滤波器认为y(n)信号质量最好就是指其SNR最大,而迫零(zero-forcing)滤波器认为y(n)信号质量最好是指y(n)不受ISI的影响。

  消除ISI的接收滤波器有不同的实现方法。可以做成FIR滤波器,这就是线性均衡(Linear Equalization, LE);还可以和判决器一起做成判决反馈均衡(Decision Feedback Equalization, DFE)。 线性均衡也可以用做在发送端,用发送滤波器实现,而DFE只能做在接收端。以后我们会讲到有一种叫Tomlinson-Harashima-Precoding的技术,相当于在发送端做DFE。如果把均衡做在发送端,发送端首先需要根据接收端的反馈信号来得知信道的参数。绝大部分通信系统发送端与接收端之间都有握手协议,所以这一点不成问题。

  把图1的基带传输通信系统重画如图3,这里省略了信道引入的噪声。我们可以把发送滤波器,信道,接收滤波器和采样开关合并成一个系统,对于这个系统,输入m(n)和输出y(n)都是离散时间信号,所以整个系统可以看做是一个离散时间系统,其传输函数可以用离散时间传输函数H(z)来表示。

 

图3 基带传输通信系统的等效形式

 

  无ISI传输的其实就是信号原封不动地从m(n)传输y(n),即

    .................式1

   上式非常简单明了。要满足式1,我们 的直觉反应是只要满足

    .................式2

  就能满足无 ISI传输的条件。其中Ht(f),Hc(f)和Hr(f)分别为ht(t),hc(t)和hr(t)的傅里叶变换。直觉是对的,但是满足式2并没有必要,因为这是一个非常苛刻的条件。考虑如果由于多径效应导致Hc(f)在某些频率处有非常大的衰减,那么Hr(f)需要在这些频率处有非常大的增益,这将非常耗电。另外,由于Ht(f)和Hc(f)的作用,信号频率是带限的,在带外根本没有信号,也就没有必要在带外做均衡。

  另外一种等效的解释是:我们并不需要y(t)没有ISI,只要满足在t=nT时候采样到的y(n)没有ISI就行了。具体来说,只要满足如式3的nyquist准则,就能保证y(n)不受ISI的影响。

     .....................................式3

  其中

    

  仔细观察式1与式3,可以发现两者是相同的。另外注意,由于采样会引入增益1/T,为了把这个增益抵消掉,在G(f)中引入了一个增益T。

  从式3可以发现只要G(f)是关于fT=n对称的形状,就能满足Nyquist准则,如图4所示。其中使用最多的是图4(c)中的升余弦形状。

 

图4,满足Nyquist准则的几中G(f)形状

 

  由于满足Nyquist准则的形状有无限多种,所以还需要加入约束条件才能得到唯一的G(f), 一个比较好的约束条件就是SNR最大。这里的SNR最大和匹配滤波器时候的情况不一样,这里的SNR最大是在满足Nyquist准则条件下SNR最大。

  最终迫零滤波器的问题变成了一个在满足Nyquist准则条件下SNR最大的约束优化问题。利用朗格朗日乘子法可以将此约束优化问题转成无约束优化问题,然后再求导,导数为零的时候就是SNR的最大的时候。严格证明请参考Robert F. H. Fiscber的“Precoding and Signal Shaping for Digital Transmission".

  最终,得到的迫零滤波器的传输函数如下

    

   其中上标zf代表zero-forcing。在仔细分析上式,分子上实际上是一个匹配滤波器,其相位抵消了发送滤波器和信道相位的影响。信号经过发送滤波器,信道和匹配滤波器后被采样,其幅度正好是分母上离散时间滤波器的幅度。

  令 

    

  我们可以用以下方式来实现迫零滤波器。

 

图5 迫零滤波器的实现

出处:波波葡 - 博客园 (cnblogs.com)

 


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