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稳定匹配学习小计

定义

  • 稳定匹配:特殊的二分图匹配,不妨假设X部和Y部称为男和女,那么每一个男的对于所有女的有一个优先级,每一个女的也对于男的有优先级,一组匹配是不稳定的即为存在一男一女他们认为对方比自己当前的对象优(那么他们就会私奔),反之则为稳定的(还需要满足不存在一对男女都没有匹配)。

算法

  • 如何求出一组稳定匹配:考虑做若干轮,每一轮所有男的都会追求还未追求过的最优的女的,然后每一个女的会在追求她的男的中选择自己认为最优的男的。实际上可以用队列实现,每一个男的按顺序追求,如果找到一个女的且自己能替代她现在的男朋友则让那个男朋友重新去找,时间复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

性质

  • 上述算法能够得到若干稳定匹配中的一种情况,并且在 n = m n=m n=m时一定能够得到一组完美匹配。
  • 上述匹配在所有稳定匹配中,每一个男的都能够选择到所有匹配方案中最优的女的,每一个女的都能选择到最差的男的(保持稳定)。
  • 简单证明:反证,设男A是第一个被最优拒绝的男的,假设男A能够取到最优的女的是Y,但是在上述算法的匹配中Y跟了B,那么B比A更好(对于Y),并且Y是B能够取到最优的,因此如果存在A,Y匹配则不稳定(Y,B能够私奔),因此矛盾了。

例题

  • 校内模拟赛突然出现的神奇玩意儿:JZOJ7075.

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