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给定三角形三边,如何判断该三角形的形状

给定三角形三边,如何判断该三角形的形状

  • 1、前言
  • 2、公式介绍
  • 3、公式推导

1、前言

我们都知道,三角形可分为直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种形状,而判断一个三角形具体为哪种形态,可以通过分析三角形中三个角中最大的角度得出。

假设这个最大的角度为∠C,则有

  • 若∠C = 90°,该三角形为直角三角形
  • 若∠C < 90°,该三角形为锐角三角形
  • 若∠C > 90°,该三角形为钝角三角形

2、公式介绍

但如果我们不知道三角形三个角的角度情况,而只有三角形三边的数据,如何通过这三条边来判断三角形的形状呢?

其中一种可行的方案是,通过如下所示的公式来计算:

a 2 + b 2 − 2 a b c o s C = c 2 (1) a^{2} + b^{2}-2abcosC=c^{2} \tag{1} a2+b22abcosC=c2(1)

其中,边a、b为三角形三边中较小的两边,边c为三角形三边中较大的那条边,而C为边c在三角形中所对应的夹角
在这里插入图片描述
由于三角形中最大的边对应最大的角(因为a: b :c = sinA : sinB : sinC, 其中0° < A,B,C < 180°),故有:

  • 当∠C = 90°时, c o s C = 0 cosC=0 cosC=0,由公式(1)有 a 2 + b 2 = c 2 a^2+b^2=c^2 a2+b2=c2,该三角形为直角三角形
  • 当∠C < 90°时, c o s C > 0 cosC>0 cosC>0,由公式(1)有 a 2 + b 2 > c 2 a^2+b^2>c^2 a2+b2>c2,该三角形为锐角三角形
  • 当∠C > 90°时, c o s C < 0 cosC<0 cosC<0,由公式(1)有 a 2 + b 2 < c 2 a^2+b^2<c^2 a2+b2<c2,该三角形为钝角三角形

换句话,也就是说,给定了三角形的三边,我们假设其中最大的边为c,较小的两边分别为a,b,我们只要比较 a 2 + b 2 a^2+b^2 a2+b2 c 2 c^2 c2的大小,即可判断该三角形的形状

3、公式推导

但问题是,公式(1)究竟是如何来的呢?

为了回答这个问题,我们首先需要知道勾股定理 a 2 + b 2 = c 2 a^2+b^2=c^2 a2+b2=c2是如何证明的,这里我给出比较通俗的一种证明方法:
在这里插入图片描述

如上图所示,用三边均为a,b,c的四个全等的直角三角形(斜边为c)围成一个内含边长为c的小正方形的大正方形。

由正方形面积公式有:

( a + b ) 2 = 4 ∗ 1 2 ∗ a ∗ b + c 2 (a+b)^2=4*\frac{1}{2}*a*b+c^2 (a+b)2=421ab+c2
化简后即有:

a 2 + b 2 = c 2 a^2+b^2=c^2 a2+b2=c2

证明了勾股定理后,在证明公式(1)时勾股定理就可以拿来用了,下面给出公式(1)的证明过程:

在这里插入图片描述

如上图所示,在△ABC中,三边分别为a,b,c,其中c为最大的边,a,b为较小的边,∠C为边c对应的夹角,作AD⊥BD于点D.令CD=m,AD=n,以得到△ABD、△ACD共两个直角三角形。

在△ACD中,由余弦值定义有:
c o s ( π − C ) = m / b cos(π-C)=m/b cos(πC)=m/b
由诱导公式有:
c o s ( π − C ) = − c o s C cos(π-C)=-cosC cos(πC)=cosC
从而有:
− c o s C = m / b (i) -cosC=m/b \tag{i} cosC=m/b(i)
由于b≠0,对(i)式变形得:
m = − b c o s C (ii) m=-bcosC\tag{ii} m=bcosC(ii)
由勾股定理有:
n 2 + m 2 = b 2 (iii) n^2+m^2=b^2\tag{iii} n2+m2=b2(iii)

在△ABD中,由勾股定理得:
( a + m ) 2 + n 2 = c 2 (a+m)^2+n^2=c^2 (a+m)2+n2=c2
              ⇒ a 2 + n 2 + m 2 + 2 a m = c 2 \Rightarrow a^2+n^2+m^2+2am=c^2 a2+n2+m2+2am=c2

将(iii)式代入,有:
a 2 + b 2 + 2 a m = c 2 a^2+b^2+2am=c^2 a2+b2+2am=c2

将(iii)式代入上式,有:
a 2 + b 2 − 2 a b c o s C = c 2 a^2+b^2-2abcosC=c^2 a2+b22abcosC=c2

从而公式(1)得证…

(虽说该证明过程中给出的△ABC为一个钝角三角形,像是未考虑锐角三角形。但对于锐角三角形,其证明情况也是基本一致的,感兴趣的同学不妨可以试一试…)


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