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贝叶斯分类器

  1. 贝叶斯理论

  2. 连续、离散特征处理

  3. 朴素贝叶斯分类器

  4. 半朴素贝叶斯分类器

贝叶斯理论

在我们学习概率论课程中,基本上处处暗含着贝叶斯理论的身影。贝叶斯理论简单说可以是一种概率转化的方法,将一种较难求得的相关概率转化为几个较容易求得的概率乘积。

现在我们考虑一种分类的任务,现有N种类别,我们将类别为cjc_jcj的样本误分为cic_ici的损失定为λijλ_{ij}λij,后验概率P(ci∣x)P(c_i|x)P(cix)表示将样本x划分为cic_ici的概率。则通过上式我们可以计算出一个期望损失,也就是对整体预期损失的一个估计。又称之为为条件风险。
R(ci∣x)=∑j=1NλijP(cj∣x)R(c_i|x)=\sum_{j=1}^Nλ_{ij}P(c_j|x)R(cix)=j=1NλijP(cjx)
从公式上可以理解为期望损失=单位类别判错损失*单个样本判别概率

从上述可以看出,现在的R就是我们的目标函数,代表着整个判别理论理论上的损失,那我们的目标就是最小化损失函数,也就是寻找每个样本上最合适的;类别标记使得R最小。将h(x)h(x)h(x)记为贝叶斯最优分类器
h(x)=argminR(c∣x)h(x)=argminR(c|x)h(x)=argminR(cx)
.现在我们以0-1损失来度量λijλ_{ij}λij
λij={1类别预测错误0类别预测正确λ_{ij}=\left\{ \begin{aligned} 1 && \text{类别预测错误}\\ 0 &&\text{类别预测正确} \end{aligned} \right. λij={10类别预测错误类别预测正确
则此时的R为:
R(ci∣x)=∑j=1NP(cj∣x)−判对概率R(c_i|x)=\sum_{j=1}^NP(c_j|x)-判对概率R(cix)=j=1NP(cjx)
=∑j=1NP(cj∣x)−P(c∣x)=\sum_{j=1}^NP(c_j|x)-P(c|x)=j=1NP(cjx)P(cx)
=1−P(c∣x)=1-P(c|x)=1P(cx)

由上述h(x)可知,最小化h(x)就等于最小化R,所以
h(x)=argminR(c∣x)=argmin(1−P(c∣x))=argmaxP(c∣x)h(x)=argminR(c|x)=argmin(1-P(c|x))=argmaxP(c|x)h(x)=argminR(cx)=argmin(1P(cx))=argmaxP(cx)
所以,求取最佳的贝叶斯分类器就是要求的其后验概率P(c∣x)P(c|x)P(cx)
Bayes定理:
P(c∣x)=P(c)P(x∣c)P(x))P(c|x)=\frac{P(c)P(x|c)}{P(x))}P(cx)=P(x))P(c)P(xc)

对于给定的总样本D,单个样本P(x)对所有的类标记都一样,因此核心关注点就是分子。针对于P(c)P(c)P(c)我们可以采取大数定理根据样本出现的频次进行估计。但是条件概率P(x∣c)P(x|c)P(xc)涉及到样本的所有属性的联合概率,不易直接求得。通常我们先假定其服从某种概率分布,在基于训练样本对概率分布的参数进行估计。一般我们采用对数最大似然估计进行求解。
前提:假设服从某一分布(我们假设已知其概率密度函数),独立同分布
假设P(x∣c)P(x|c)P(xc)具有确定的形式并且被参数θcθ_cθc唯一确定,DcD_cDc表示样本D中类别为c的样本总和
在这里插入图片描述
我们分别对两侧取对数,防止连乘幂次过大造成下溢
在这里插入图片描述
最终我们可以利用假设的概率密度分布,代入两边对θ求导计算出最终的最大似然估计值θ(高数中最大似然函数求解法),如我们假设这里为正态分布,那么θ就指代正态分布中的uc,δc2u_c,\delta_c^2uc,δc2,计算可得:
在这里插入图片描述

连续值、离散值处理

对于离散值来说,我们的处理方式就非常简单,只需要按照第i个属性取值为xix_ixi样本的集合比上样本数即可
在这里插入图片描述
对于连续值来说,就无法这样处理了。针对于连续值我们一般有以后两种处理方法:
1:分桶法
我们将数据划分为不同的m段,为每段计算一个概率,但是这样会很受m值大小的影响
2:假设概率分布法:
我们可以假设其服从某一概率分布,然后用其概率密度分布函数就行计算,这样就把求连续数值的概率问题转变为求数值裹挟下的面积问题,如服从正态分布,我们可以这样计算:
在这里插入图片描述

朴素贝叶斯分类器

前提:独立同分布
在这里插入图片描述
一句话总结下就是特征之间彼此毫无联系(虽然不太符合实际情况),可以转化为单个条件特征概率连乘的形式。但是这样也会带来一个问题,一旦有一个特征未在一个类中出现过,那么其连乘的结果就为0,这样就会造成无论样本的其他属性如何变化最终都为0产生不了影响,这显然与事实不符合。"未观测到"与"出现概率为0"是两种截然不同的情况。我们为对概率进行平滑一般采取拉普拉斯修正:
在这里插入图片描述

参数介绍:
Dc:样本D中类别为c的样本集合
N:D中可能的类别数
Ni:第i个属性可能的取值数
Dc,xi:Dc中第i个属性取值为xi的样本集合
+1:防止分子为0

sklearn中共为我们提供了四种贝叶斯分类函数(伯努利、补充贝叶斯、高斯、多项式),和一个贝叶斯回归函数(linear.model.BayesianRidge)
在这里插入图片描述
下面以一个文本分类的案例展示下高斯分布下贝叶斯分类器的效果

from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.naive_bayes import GaussianNB
from sklearn.feature_extraction.text import CountVectorizer,TfidfVectorizer
import pandas as pd
import jieba 
import numpy as np
# 获取数据
dataset = pd.read_table(r'./dataset.txt',names=['category','theme','URL','content'],encoding='utf-8')
dataset.head(-1)
# 获取文章内容
content = dataset.content.values.tolist()
# content
# 内容分词
segment_words = list()
for line in content:segment = jieba.lcut(line)if len(segment)>1 and segment!="\r\n":segment_words.append(segment)
segment_words[1000]contents = pd.DataFrame({"content":segment_words})
contents = contents.content.values.tolist()
# 去除停用词表中内容
stopwords = pd.read_table(r'./stopwords.txt',quoting=3,names=["stopwords"],encoding='utf-8')
stopwords = stopwords.stopwords.values.tolist()new_content = list()
for line in contents:line_content = list()for word in line:if word in stopwords:continueline_content.append(word)new_content.append(line_content)
df_train=pd.DataFrame({'content':new_content,'label':dataset['category']})
df_train.head()
# 类别标记离散化
label_mapping = {"汽车": 1, "财经": 2, "科技": 3, "健康": 4, "体育":5, "教育": 6,"文化": 7,"军事": 8,"娱乐": 9,"时尚": 0}
df_train.label = df_train['label'].map(label_mapping)
# 数据分割
x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(df_train.content.values,df_train.label.values,test_size=0.2,random_state=100)train_content = list()
# 训练集转化为list of str形式u,便于后续特征编码
for line_index in range(len(x_train)):train_content.append(' '.join(x_train[line_index]))# 特征编码,形成一个sparse稀疏矩阵
transfer = CountVectorizer(analyzer="word",max_features=4000)
x_train = transfer.fit_transform(train_content)# 训练模型
estimator = GaussianNB()
estimator.fit(x_train.toarray(),y_train)
# 测试集数据编码
train= list()
for index in range(len(x_test)):train.append(" ".join(x_test[index]))
#transfer1 = TfidfVectorizer()
transfer1 = CountVectorizer(analyzer="word",max_features=4000)
x_test = transfer1.fit_transform(train)
estimator.score(x_test.toarray(),y_test)

半朴素贝叶斯分类器

在朴素贝叶斯分类器中,我们假设的前提是独立同分布,但在现实中这一条件很难成立,特征之间或多或少都会有联系。为改善这一缺陷,半朴素贝叶斯分类器多采用独依赖估计得策略,也就是现在设计每一个属性最多依赖于一个其他属性:
在这里插入图片描述
paipa_ipai就是xix_ixi所依赖的属性,我们称之为父属性(超父)。半贝叶斯分类器的方法很多,其本质思想是如何来衡量特征之间的相关性,进而提出新的计算条件概率的方法。
在这里插入图片描述

上图SPODE单一超父方法,就是假设其余特征之间彼此无关,所有的特征均与其中唯一确定的特征相关。
现今有一种基于集成学习机制更为强大的半贝叶斯分类器AODE,就是在SPODE的基础上将单一的超父变为全体超父,
也就是说现在分别都将其中一个特征进行SPODE方法,每一个特征都充当一次超父。其公式以下所示:

在这里插入图片描述
本质就是基于集成机制聚合多个SPODE模型,最终提出以下概率计算方法:
在这里插入图片描述

D:总样本集合
Ni:第i个属性可能的取值数
Dc,xi:Dc中第i个属性取值为xi的样本集合
Dc,xi,xj:D中类别为c且第i,j个属性取值分别为xi,xj的样本集合
+1:防止分子为0

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