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搜索: DFS + 剪枝:木棒

题目链接:https://www.acwing.com/problem/content/169/

题目:

乔治拿来一组等长的木棒,将它们随机地砍断,使得每一节木棍的长度都不超过 50 个长度单位。

然后他又想把这些木棍恢复到为裁截前的状态,但忘记了初始时有多少木棒以及木棒的初始长度。

请你设计一个程序,帮助乔治计算木棒的可能最小长度。

每一节木棍的长度都用大于零的整数表示。

输入格式

输入包含多组数据,每组数据包括两行。

第一行是一个不超过 64 的整数,表示砍断之后共有多少节木棍。

第二行是截断以后,所得到的各节木棍的长度。

在最后一组数据之后,是一个零。

输出格式

为每组数据,分别输出原始木棒的可能最小长度,每组数据占一行。

数据范围

数据保证每一节木棍的长度均不大于 50。

输入样例:

9
5 2 1 5 2 1 5 2 1
4
1 2 3 4
0

输出样例:

6
5

分析:

此题的搜索方式比较另类,它是从小到大去枚举木棒的长度。 看哪个最短长度满足条件。

而在枚举过程中需要进行剪枝。

1.枚举的木棒长度 len 必须能够被 当前切割出的木棍的总长度total整除。不能整除的话,那么肯定无法通过当前所给木棍全部用上的方式 拼凑出满足条件的木棒。

从而每次dfs()前都能够确定需要得到的木棒的长度

2.确定了木棒的长度之后,我们会通过dfs的方式对木棍进行枚举,看是否能够拼凑出这样的木棒,所以我们从大到小的方式去枚举木棍,因为木棍长的先枚举,这样可以减少分支数。也就是优化搜索顺序剪枝。

3.木棒内部的木棍组成是不考虑顺序的,所以需要使用上组合型的枚举方式(也就是1,2 和       2,1是一个情况)。排除等效冗余。

4.当我们用木棍去枚举拼凑满足条件的木棒的时候,当前使用 某个木棍 t1 后 ,无法凑出整数个这样的木棒,我们会用木棍t2重新按照t1的相似枚举情况去重新做一遍枚举,看是否能够成立。而这之中,就又有一个可以进行剪枝的地方。 那就是 t2 == t1的时候,(当下已经确定了使用t1在木棒当前这个位置不成立,于是准备使用t2看t2在木棒当前位置下是否成立的时候)

在逻辑上看似乎两个是不一样的,我们使用t1的时候可以使用t2....等等进行枚举,我们使用t2的时候不能使用t1,而应该继续使用后面部分进行枚举,而t1在新的木棒中能够成立。

也就是以为下面的形式可行:

 但是实际上t2和t1一交换,也是成立的。但是我们上面说过,t1放t2位置是不成立的,所以就矛盾了。因此,当t1在t2位置dfs枚举后失败了,则不用去考虑t2...等等相等长度的木棍,他们放在这一定也是失败的。直接跳到与t1不等的木棍长度去,再次进行枚举。

5. 如果当前某个木棍放在某个木棒开头的时候,失败了。则当前枚举的这个情况就是失败的。(也就是前面几根构造好的木棒的情况是错误的,后面无法构造成功) 不用在继续往后枚举了。直接return.

这是因为,首先,木棒的内部,木棍是不考虑顺序的。

假设现在t1放开头失败,但是放在后面其他的木棒内部后,答案是成功的。 

图1

图2

 也就是图1是失败的。图2则可以成功。

于是我们对图2进行操作,将t1与 t2这两根木棍互换位置.这样t1不就又变成了开头了,产生矛盾,所以假设是错误的。

从而可以知道,t1放开头错误,则当前枚举的这个方案就是错误的。直接return即可,不用继续往下枚举。

6. 如果将某个木棍放在当前某个木棒的结尾失败,则同5一样,直接回溯即可,这个方案也是错误的。

 如果原先t1放在t3 + t4的位置这个木棒是成立的,但是后面木棒无法完全组成。

而现在如果成功的话,也就是当下这种情况是能够成立的。那么我们直接将t1和 t3 + t4的木棍换一下位置,也是成立的。就矛盾了。

代码实现:

# include <iostream>
# include <algorithm>
# include <cstring>
using namespace std;const int N = 70;int a[N];int n;int len;
int total;
bool st[N]; // 哪些根已经被用掉了bool cmp(int a , int b)
{return a > b;
}bool dfs(int u , int length , int idx)  // 已经构造出了u根,现在在构造第u + 1根,第u + 1根已经构造了length长度, 现在准备从idx开始枚举找适合的 
{if(u * len == total) // 则构造成功了{return true;}if(length == len) // 第u + 1根也为len长度了,则u + 1根完成,开始下一根,从1开始重新枚举{return dfs(u + 1 , 0, 1) ; // 不可断层,切记加return }for(int i = idx ; i <= n ; i++){if(st[i]){continue;}// 可行性剪枝if(length + a[i] > len){continue;}st[i] = true;// 防止冗余的剪枝,实现组合型if(dfs(u,length + a[i] , i + 1)){return true;}//如果失败,继续进行剪枝st[i] = false;if(length == 0) // 也就是当前放开头无法成功,则当前的方式一定失败,不用向后枚举了{return false;}if(length + a[i] == len)  // 如果放在最后,也失败,则方式失败,不用继续枚举了{return false;}//长度相等的情况,只要有一个不满足,则长度相等的全部都是不满足的int j = i;while(a[j] == a[i]){j++;}i = j - 1;}return false; // 当前枚举方式下,无法成功
}int main()
{while( scanf("%d",&n) ){// 切记 st[] 会影响dfs的搜索,每次都要清空。memset(st,false,sizeof st);if(n == 0){break;}total = 0;for(int i = 1 ; i <= n ; i++){scanf("%d",&a[i]);total += a[i];}// 从大到小,这是优化搜索顺序sort(a + 1 , a + 1 + n,cmp);len = 1;while(true){if(total % len == 0){if( dfs(0,0,1) ){printf("%d\n",len);break;}}len++;}}return 0;
}

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