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SLAM本质剖析番外-李群李代数的微分和导数

news 来源：原创 2023/3/23 13:50:21

0. 简介

这几个月，博主已经从SLAM算法的使用向着算法的数学推导进行了记录和分享，之前也分享了李群李代数关注核心一文，从现象中解释了李群和李代数表达的含义。但是这还不够，所以这次作者作为SLAM本质剖析的番外，来介绍李群李代数的微分和导数。

1. 旋转点求导

李群或者李代数上叠加微小量的情况呢？传统的求导过程中，我们常见的做法是对自变量添加一个微小值来进行：

$\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)}{\Delta x}$

但是这种形式对于旋转矩阵 $SO (3)$ 我们不能这么做，因为李群对加法不封闭，因此两个旋转矩阵相加不一定是旋转矩阵，但是利用李代数，根据下面两个方向的 BCH 近似不难看出我们有两种思路进行求导，分别是：

用李代数（旋转向量）来表示姿态，然后利用李代数加法叠加微小量并对该微小量进行求导
- 李代数求导：在李群对应的李代数的局部坐标上，即：（ $ϕ,ϕ∧∈so(3)\boldsymbol{\phi}, \boldsymbol{\phi}^\wedge\in \mathfrak{so}(3)$ ）上添加扰动，即： $ϕ←ϕ+δϕ\boldsymbol{\phi} \leftarrow \boldsymbol{\phi} + \delta\boldsymbol{\phi}$ ，由于李代数本身对应旋转向量，因此对旋转向量添加扰动相当于同时改变旋转轴和旋转角度。
用李群（旋转矩阵）表示姿态，然后左/右乘上一个扰动，然后对该扰动求导，即左扰动模型和右扰动模型
- 旋转矩阵右扰动求导：由于旋转矩阵没有加法，因此要对旋转矩阵本身添加扰动，需要先通过指数映射将李代数转化为李群，然后根据李群的运算来添加扰动，即： $R←Rexp⁡(ϕ∧)\boldsymbol{R} \leftarrow \boldsymbol{R}\exp{(\boldsymbol{\phi}^\wedge)}$ ，由于是旋转矩阵右乘扰动，因此相当于是在局部坐标系下对旋转矩阵进行更新
- 旋转矩阵左扰动求导：和右扰动同理，我们也可以将扰动添加在旋转矩阵左侧，即： $R←exp⁡(ϕ∧)R\boldsymbol{R} \leftarrow \exp{(\boldsymbol{\phi}^\wedge)}\boldsymbol{R}$ ，由于是旋转矩阵左乘扰动，因此相当于在全局坐标系下对旋转矩阵进行更新

李代数这样的形式我们可以理解，Ceres也是通过这样的形式进行来实现李代数的累加。但是李群就需要根据BCH来进行计算了。

2 $JR0\boldsymbol{J}_{\boldsymbol{R}_0}$ 是什么

为了明白在李群李代数公式中各个成员的含义，我们给出例子来解释不同的变量。假设我们对空间一个点 $p$ 使用旋转矩阵 ${R_0} $ 进行旋转得到 ${R_0} p$ ：
$JR=∂e(R,p)∂R=∂Rp∂R\boldsymbol{J}_{R} = \frac{\partial \boldsymbol{e}(\boldsymbol{{R}}, \boldsymbol{p})}{\partial \boldsymbol{{R}}} = \frac{\partial \boldsymbol{{R}p}}{\partial \boldsymbol{R}}$

该式子在实际计算时可以施加微小扰动 $ϕ{\phi}$ ，通过最小化扰动来对误差进行线性化，并近似转换为，从而求出在 $R_0$ 到 $R$ 的情况下 $p$ 的变化。此刻默认 $e(R0,p)\boldsymbol{e}(\boldsymbol{R}_0, \boldsymbol{p})$ 是已知的。

$e(R,p)=e(R0,p)+JR0δϕ\boldsymbol{e}(\boldsymbol{R}, \boldsymbol{p}) = \boldsymbol{e}(\boldsymbol{R}_0, \boldsymbol{p}) + \boldsymbol{J}_{\boldsymbol{R}_0}\delta\boldsymbol{\phi}$

得到基于 ${R_0}$ 的偏导 --------也就是 $JR0\boldsymbol{J}_{\boldsymbol{R}_0}$ 是函数在 $R0\boldsymbol{R}_0$ 的雅可比矩阵

3 $⊕\oplus$ 、 $∧\wedge$ 和 $×_{\times}$ 的含义

对于李群而言，由于其没有向量空间上的加法操作，因此为了引入导数的概念，这里用一个映射将局部坐标 $ξ\xi$ 映射到李群元素 $a$ 在李群空间附近的邻域上，用来作为李群上的 “加法” 操作，所以常常会使用 $⊕\oplus$ 来表示李群的加法，如下所示：

$a⊕ξ≜aexp⁡(ξ^)a\oplus \xi \triangleq a \exp{(\hat{\xi})}$

式中， $ξ∈Rn\xi\in\mathbb{R}^n$ 是 $a$ 系下的局部坐标，这个也是我们所说的极小值右乘的做法，以李群 SO(3) 为例，局部坐标可以表示为 $ξ=ωt\xi = \omega t$ ，其几何意义为以 $a$ 作为参考系下的一个角度扰动；

$ξ^\hat{\xi}$ 为 $ξ\xi$ 的对应李代数，当然也可以像上面表示为 $ξ∧\xi^{\wedge}$ ；

$exp⁡ξ\exp{\xi}$ 为李代数到李群的指数映射；

$ξ^=[ωt]×\hat{\xi} = [\omega t]_{\times}$ 为李代数，李代数可以转化为反对称矩阵。通过 $×_{\times}$ 来表示角度扰动（旋转轴+旋转角度）的旋转向量。
在这里插入图片描述

4 由BCH得到的左扰动和右扰动基础公式

首先将旋转矩阵（李群 $SO (3)$ ）转换为旋转向量（李代数 $so(3)\boldsymbol{\mathfrak{so}}(3)$ ），并对旋转向量求导：

$e(R,p)=Rp=exp⁡(ϕ∧)p=exp⁡((ϕ0+δϕ)∧)p=exp⁡(ϕ0∧+δϕ∧)p将Jl(ϕ0)简化为Jl(ϕ0)=(R0Rδ)pBCH近似≈exp⁡((Jlδϕ)∧)exp⁡(ϕ0∧)p泰勒展开并去除高阶项≈(I+(Jlδϕ)∧)exp⁡(ϕ0∧)p=exp⁡(ϕ0∧)p+(Jlδϕ)∧exp⁡(ϕ0∧)p=R0p+(Jlδϕ)∧R0p=e(R0,p)+(Jlδϕ)∧R0p利用a∧b=−b∧a性质=e(R0,p)−(R0p)∧Jlδϕ根据之前的的公式默认为=e(R0,p)+JR0δϕ⇒JR0=−(R0p)∧Jl\begin{aligned} \boldsymbol{e}(\boldsymbol{R}, \boldsymbol{p}) &= \boldsymbol{Rp} = \exp{(\boldsymbol{\phi}^\wedge})\boldsymbol{p}\\ &= \exp{((\boldsymbol{\phi}_0 + \delta\boldsymbol{\phi})^\wedge})\boldsymbol{p}\\ &= \exp{(\boldsymbol{\phi}_0^\wedge + \delta\boldsymbol{\phi}^\wedge})\boldsymbol{p}\\ 将{J_l({\phi}_0)}简化为{J_l({\phi}_0)} &= (R_0R_{\delta})\boldsymbol{p}\\ \mathrm{BCH 近似}&\approx \exp{((\boldsymbol{J}_l\delta\boldsymbol{\phi})^\wedge})\exp{(\boldsymbol{\phi}_0^\wedge)}\boldsymbol{p} \\ \mathrm{泰勒展开并去除高阶项}&\approx (\boldsymbol{I} + (\boldsymbol{J}_l\delta\boldsymbol{\phi})^\wedge)\exp{(\boldsymbol{\phi}_0^\wedge)}\boldsymbol{p} \\ &= \exp{(\boldsymbol{\phi}_0^\wedge})\boldsymbol{p} + (\boldsymbol{J}_l\delta\boldsymbol{\phi})^\wedge\exp{(\boldsymbol{\phi}_0^\wedge)}\boldsymbol{p} \\ &= \boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p} + (\boldsymbol{J}_l\delta\boldsymbol{\phi})^\wedge\boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p} \\ &= \boldsymbol{e}(\boldsymbol{R}_0, \boldsymbol{p}) + (\boldsymbol{J}_l\delta\boldsymbol{\phi})^\wedge\boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p} \\ \mathrm{利用a^\wedge b = -b^\wedge a 性质}&= \boldsymbol{e}(\boldsymbol{R}_0, \boldsymbol{p}) - (\boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p})^\wedge\boldsymbol{J}_l\delta\boldsymbol{\phi} \\ 根据之前的的公式默认为 &= \boldsymbol{e}(\boldsymbol{R}_0, \boldsymbol{p}) + \boldsymbol{J}_{\boldsymbol{R}_0}\delta\boldsymbol{\phi} \\ \Rightarrow \boldsymbol{J}_{\boldsymbol{R}_0} &= - (\boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p})^\wedge\boldsymbol{J}_l \end{aligned}$

最后我们得到以下结果：

$JR0=−(R0p)∧Jl(ϕ0)\boldsymbol{J}_{\boldsymbol{R}_0} = - (\boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p})^\wedge\boldsymbol{J}_l(\boldsymbol{\phi}_0)$

因为 $Jl\boldsymbol{J}_l$ 一般乘上的是极小值，所以在一般情况是可以省略的。这就可以根据类似的推导得到左扰动公式：

$e(R,p)=Rp=exp⁡(ψ)∧R0p泰勒展开并去除高阶项≈(I+ψ∧)R0p=R0p+ψ∧R0p=e(R0,p)+ψ∧R0p利用a∧b=−b∧a性质=e(R0,p)−(R0p)∧ψ=e(R0,p)+JR0ψ⇒JR0=−(R0p)∧\begin{aligned} \boldsymbol{e}(\boldsymbol{R}, \boldsymbol{p}) &= \boldsymbol{Rp}\\ &= \exp{(\boldsymbol{\psi})^\wedge}\boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p}\\ \mathrm{泰勒展开并去除高阶项}&\approx (\boldsymbol{I} + \boldsymbol{\psi}^\wedge)\boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p}\\ &= \boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p} + \boldsymbol{\psi}^\wedge\boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p}\\ &= \boldsymbol{e}(\boldsymbol{R}_0, \boldsymbol{p}) + \boldsymbol{\psi}^\wedge\boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p}\\ \mathrm{利用a^\wedge b = -b^\wedge a 性质}&= \boldsymbol{e}(\boldsymbol{R}_0, \boldsymbol{p}) - (\boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p})^\wedge\boldsymbol{\psi} \\ &= \boldsymbol{e}(\boldsymbol{R}_0, \boldsymbol{p}) + \boldsymbol{J}_{\boldsymbol{R}_0}\boldsymbol{\psi} \\ \Rightarrow \boldsymbol{J}_{\boldsymbol{R}_0} &= - (\boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p})^\wedge \end{aligned}$
不难看出来，利用左扰动模型计算的导数比使用李代数直接求导省去了一个 $Jl(ϕ0)\boldsymbol{J}_l(\boldsymbol{\phi}_0)$ 的计算，因此更为实用，同时理论上精度也会更高（因为在计算该矩阵时需要近似）。

下面是右扰动公式：
$e(R,p)=Rp=R0exp⁡(ψ)∧p泰勒展开并去除高阶项≈R0(I+ψ∧)p=R0p+R0ψ∧p=e(R0,p)+R0ψ∧p利用a∧b=−b∧a性质=e(R0,p)−R0p∧ψ=e(R0,p)+JR0ψ⇒JR0=−R0p∧\begin{aligned} \boldsymbol{e}(\boldsymbol{R}, \boldsymbol{p}) &= \boldsymbol{Rp}\\ &= \boldsymbol{R}_0\exp{(\boldsymbol{\psi})^\wedge}\boldsymbol{p}\\ \mathrm{泰勒展开并去除高阶项}&\approx \boldsymbol{R}_0(\boldsymbol{I} + \boldsymbol{\psi}^\wedge)\boldsymbol{p}\\ &= \boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p} + \boldsymbol{R}_0\boldsymbol{\psi}^\wedge\boldsymbol{p}\\ &= \boldsymbol{e}(\boldsymbol{R}_0, \boldsymbol{p}) + \boldsymbol{R}_0\boldsymbol{\psi}^\wedge\boldsymbol{p}\\ \mathrm{利用a^\wedge b = -b^\wedge a 性质}&= \boldsymbol{e}(\boldsymbol{R}_0, \boldsymbol{p}) - \boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p}^\wedge\boldsymbol{\psi} \\ &= \boldsymbol{e}(\boldsymbol{R}_0, \boldsymbol{p}) + \boldsymbol{J}_{\boldsymbol{R}_0}\boldsymbol{\psi} \\ \Rightarrow \boldsymbol{J}_{\boldsymbol{R}_0} &= - \boldsymbol{R}_0\boldsymbol{p}^\wedge\\ \end{aligned}$

相比于左扰动的模型中计算 $Rp\boldsymbol{Rp}$ 的反对称矩阵，右扰动模型计算的是 $p\boldsymbol{p}$ 的反对称矩阵，因此有细微的区别，使用时注意区分。

5 连乘李群的求导

…详情请参照古月居

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编程日记 2023/3/23 13:49:04

向上取整

在C语言中，取整操作总是把小数部分截断。因此当操作数为正的时候，相当于向下取整。以下讨论的方法都是操作数为正的情况，操作数为负和浮点数的情况不作讨论。方法一：检查余数 int func1(int x, int n) {int sum x / n;if( x…...

编程日记 2023/3/23 13:49:02

SAP中计划策略11测试

在按库存生产计划策略中，策略11代表总需求计划，即在不考虑库存的情况下满足需求。另外，计划策略10和11在需求消减Reduction上是不一样的。一个是在销售发货后，一个是在生产完工入库后；下面就针对计划策略11进行相关测…...

编程日记 2023/3/23 13:49:01

java short 无符号_Java 表示无符号整数

在 java 中，所有的数字都是有符号的，即可以表示负数，也可表示正数，如：byte、short、int、long、float 和 double)。例如：byte，长度为8位；如果是无符号的，则可以表示的范围…...

编程日记 2023/3/23 13:49:00

lstrip在python中是什么意思_农村俗语：“虎生三子，必有一彪”，“彪”字究竟是啥意思？...

东北人开玩笑时常说一句话：“你是不是彪？”这句话在近几年很是洗脑。有朋友就不懂了：“彪是什么？”农村那么多的俗语，其中就有一句说：“虎生三子，必有一彪。”这个“彪”字又是什么意思&#xf…...

编程日记 2023/3/23 13:48:56

蓝桥杯单片机DS18B02温度测量（小数点显示）

DS18B02芯片可以说是在蓝桥杯中是极为常考的一个芯片模块了，熟练掌握是必须的。简单说明一下吧：温度读取时候呢？首先读出的是温度的低八位，其次读出的是温度的高八位，组成一个16位的二进制值就是DS18B20测量到的温度值…...

编程日记 2023/3/23 13:48:51

qq创建临时会话

有两种办法实现 1.使用最新的qq第三方SDK int ret Tencent.startWPAConversation(Activity.this,uin, "");uin为临时会话的qq号2.如果是用旧的sdk也不想升级及 <span style"white-space:pre"> </span>String WPA "wpa";String QQ …...

编程日记 2023/3/23 13:48:51

对象序列化成字节数组

所以对象p实现序列化接口Serializable ByteArrayOutputStream banew ByteArrayOutputSream(); ObjectOutputStream oosnew ObjectOutputSream(ba); oos.writeObject(p); byte[] pBytesba.toByteArray(); 把序列化对象p套一个对象输出流，对象输出流再套一个字节…...

编程日记 2023/3/23 13:48:48

B站左程云算法视频中级班05

题目1：实现一个特殊的栈，在实现栈的基本功能的基础上，再返回栈中最小元素的操作getMin 思路：搞两个栈，一个Data，一个Min，每次都在当前的最小值压入Min（谁小压谁） 题目二…...

编程日记 2023/3/23 13:48:46

pr cpu100%_pr教程资源

pr教程资源一个会pr剪辑的人，无论在找工作还是步入职场使用都很吃香。对于普通人来说，视频处理也成为了一个常用的技能。但如果不会使用pr,就得需要系统化的学习了，这当然离不了pr教程资源。很多新手朋友喜欢到处找免费的视频来学习今天学一段…...

编程日记 2023/3/23 13:48:45

多重继承：例子

机器人课程我们教程的这一章旨在加深读者对前一章中建立的多重继承的理解。我们将为 Python 编程语言的这一重要的面向对象原则提供进一步的扩展示例。我们将使用 Robot 类的变体作为超类。我们还将使用 Python 之类的属性总结面向对象的其他一些重要方面。我们还将找出覆盖、…...

编程日记 2023/3/23 13:48:44

python计算结果向上取整_python中的向上取整向下取整以及四舍五入的方法

import math#向上取整print "math.ceil---"print "math.ceil(2.3) > ", math.ceil(2.3)print "math.ceil(2.6) > ", math.ceil(2.6)#向下取整print "\nmath.floor---"print "math.floor(2.3) > ", math.floor(2.3)…...

编程日记 2023/3/23 13:48:41

OBS云插件，智播，智慧主播最佳选择

全民主播已经可以使用zbmate免安装OBS云插件了。你不会还不知道吧。已经有全民主播在用了。一下是效果图，免安装哦 zbmate.com. 可以了解更多。...

编程日记 2023/3/23 13:48:36

二分查找的运用

好久之前在学校学的，然后最近写题目刚好写到，也没有总结过。。。题目 P1678 烦恼的高考志愿 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn) 分析最明显的方法就是二分查找了，然后优先队列也可以写，就是肯定没有二分查找来的…...

编程日记 2023/3/23 13:48:32

Python开发技术—文件和异常4

第1关：深度优先遍历目录任务描述本关任务：深度优先递归遍历文件夹，如果是文件就直接输出当前文件绝对路径，如果是文件夹，就输出当前文件夹路径，然后接着遍历该子文件夹，直到指定文件夹被全部遍历完。相关知识为了完成本关任务，你需要掌握：1.os模块中相关文件目录…...

编程日记 2023/3/23 13:48:32

Apriori 算法与FP-growth算法实现

文章目录**一．** **实验目的****二．** **实验任务****三．** **实验背景****四．** **算法原理****五．** **具体实现**一． 实验目的 1．加强对Apriori 算法与FP-growth算法的理解; 2．…...

编程日记 2023/3/23 13:48:30

菜鸡HP的被虐日常（6）当扩大n倍以后……②

ByHolyPushBy\quad HolyPushByHolyPush 愚蠢的HPHPHP：i?i?i?是坐标系里在xxx轴方向上的单位向量吗？ 聪明的txltxltxl：当然不是，我们这里提到的iii是一种特殊的数。我们人为规定i2−1。i^2-1。i2−1。当然你现在只需要知道它的…...

编程日记 2023/2/14 2:47:59

MPC_ORCA

文章目录2 问题描述2.1 设置移动机器人2.1.1 差分移动机器人的电影约束2.1.2 应用输入命令2.1.3 线性化2.2 状态变量中的模型2.3系统模型3 基于模型的预测控制3.1 确定MPC问题3.2 凸优化3.2.1二次规划3.3 将MPC问题转换为QP4 机器人导航4.1路径规划4.2 本地控制以防止机器人之间…...

编程日记 2023/2/14 2:54:55

动手学线性代数

文章目录前言2.1 线性方程组与向量2.1.1 线性方程组2.2 向量空间、矩阵、行列式以及范数2.2.1 向量的运算法则2.2.2 向量的线性相关与线性无关2.2.3 矩阵1. 单位矩阵2.初等矩阵项目实战——基于矩阵变换的图像变换总结前言本章的主要内容如下： 1、理论知识&#x…...

编程日记 2023/2/14 2:49:38

【设计模式】创建型模式·原型模式

设计模式学习之旅(五) 查看更多可关注后查看主页设计模式DayToDay专栏一. 概述用一个已经创建的实例作为原型，通过复制(克隆)该原型对象来创建一个和原型对象相同的新对象。原型模式包含如下角色： 抽象原型类：规定了具体原型对象必须实现…...

编程日记 2023/2/14 2:55:48

线性规划与单纯形法（线性规划、单纯形法、单纯形表、人工变量法）

线性规划与单纯形法文章目录线性规划与单纯形法概念、建模、标准型标准型、基、基解、基可行解、可行基单纯形法单纯形表的应用关于检验数和退化的讨论人工变量法之“大M法”人工变量法之“两阶段法”概念、建模、标准型使用KKT解决线性规划问题对于整数规划问题需要在解完之…...

编程日记 2023/2/14 2:51:41

python程序中的内存泄露（matplotlib内存泄漏）

跑深度学习程序用到了matplotlib，发现在程序占用内存不断提高，原因经过排查是使用了fig.savefig()循环使用不断占用更多空间，产生了matplotlib内存泄漏。解决办法： fig.savefig()后接着两句： plt.close(all) gc.c…...

编程日记 2023/2/14 2:47:31

服务器内存泄漏

在集群上跑程序的时候，明明是100G的内存，却总是被kill掉，因为OOM 这就很奇怪，后来查了一下，原因是内存泄漏了内存泄漏（Memory Leak）是指程序中已动态分配的堆内存由于某种原因程序未释放或无法…...

编程日记 2023/2/14 2:55:25

opencv的图像基本操作（基于jupyter Notebook）

opencv的基本操作cv2是opencv在python中的缩写，函数开头用cv2cv2.imread(cat.jpg) #读入图片cat.jpgcv2.imwrite(mycat.png,img) #图片img保存为mycat.pngcv2.imshow(image,img) #创建窗口，显示图像cv2.waitKey(10000) #等待时间，以毫秒为单…...

编程日记 2023/3/23 12:39:30

linux环境下QT程序内存泄露检测-Qt creator +Valgrind检测内存泄漏（linux)

原文查看具体内容： Qt creator Valgrind检测内存泄漏（linux)_枫影竹韵的博客-CSDN博客一、说明由于Qt creator和valgrind是相互独立的，所以需要安装valgrind后，Qt creator才能使用该功能进行内存检测分析。二、安装valgrind…...

编程日记 2023/2/14 2:52:50

valgrind 内存泄漏分析

valgrind 内存泄漏剖析简述 valgrind 是 Linux 业内流行且十分强劲的内存泄漏查验专用工具。在其官方网站详细介绍中，运行内存查验（memcheck）仅仅其在其中一个作用。因为仅用过其内存泄漏的查验，也不扩展共享 valgrind 别的作用…...

编程日记 2023/2/14 2:48:31

java防止内存泄露_如何防止java中的内存泄漏

展开全部尽管java虚拟机和垃圾回收机制治理着大部分62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333335313838的内存事务，但是在java软件中还是可能存在内存泄漏的情况。的确，在大型工程中，内存泄漏是一个普遍问题。避免内存泄漏的第一步&#xff0…...

编程日记 2023/2/14 2:49:30

静态内部类如何避免内存泄露_避免内部类中的内存泄漏

静态内部类如何避免内存泄露如果您已阅读介绍静态类和内部类的 Java 101 教程 ，则应该熟悉在Java代码中使用嵌套类的基础知识。在这个相关的技巧中，我将带您了解嵌套类的陷阱之一，这是内部类在JVM中引起内存泄漏和内存不足错误的潜力。之所…...

编程日记 2023/2/14 2:48:04

c语言内存管理（内存泄漏和句柄泄露）

1，在c语言中，入参判断是很重要的一环，但是有时候入参的判断会导致内存泄漏或者是句柄泄露，我们来举例来说明吧！（1）内存泄漏 int function_test1(int c) {int* p = (int*)malloc*sizeof(int));assert(q != NULL)if( c < 0){return -1; //这里需要free(p);}/*******…...

编程日记 2023/2/14 2:50:28

java 线程泄露_内存泄露排查之线程泄露

基础内存泄露(Memory Leak)java中内存都是由jvm管理，垃圾回收由gc负责，所以一般情况下不会出现内存泄露问题，所以容易被大家忽略。内存泄漏是指无用对象(不再使用的对象)持续占有内存或无用对象的内存得不到及时释放，从而造成内存…...

编程日记 2023/2/14 2:47:35

频谱能量泄漏

转载自https://mp.weixin.qq.com/s?__bizMzI5NTM0MTQwNA&mid2247484164&idx1&snfdaf2164306a9ca4166c2aa8713cacc5&scene21#wechat_redirect 在做信号处理时，经常涉及到“泄漏”。那泄漏是什么，是什么原因造成了泄漏呢？在这…...

编程日记 2023/2/14 2:55:21

靠山吃山

我们COMSCI系统，专业是搞计算机的。。。。除了计算机多，会写代码和算法，其它也没有什么本事但是。。紧紧依靠COMSCI系统是我们的一贯宗旨，密切联系计算机系统是我们不败的真理。。。是计算机行业的，就吃这碗饭。。。…...

编程日记 2023/2/14 2:49:50

笔记41 练习45之二，自己来做一个代码游戏，一个挑战，但做出来一点

导入笔记41 练习45之二，自己来做一个代码游戏，一个挑战，但做出来一点导言、开始要自食其力了，原先也没有想到，学到第45个练习，就要自己来做游戏的代码。我好像还不具备这样的资质呢，至少许多…...

编程日记 2023/2/14 2:55:44

我的投资、理财、财富观

财富是什么？我认为是人、理想、感情、金钱、思想。传统意义上，金钱才是财富 ，因为几千年来，只有金钱被所有人接受。而我认为，金钱只是物质财富的最佳代表。金钱可以与绝大多数的物质财富等价交换，但不能与…...

编程日记 2023/2/14 2:54:25

32年正大天晴肝疾攻坚路半部中国乙肝抗争史

如果说迎击新冠病毒是一场遭遇战，那么三十多年来硬刚乙肝病毒就是中国人经历的另一场史诗级持久战。上世纪70和80年代末期，两次大规模的乙肝病毒爆发，让中国顶上了“乙肝大国”的帽子。1992年高峰时1.2亿乙肝病毒携带者，甚至占据…...

编程日记 2023/2/14 2:52:04

[渝粤教育] 山东财经大学国际经济学参考资料

教育 -国际经济学-章节资料考试资料-山东财经大学【】自由贸易理论作业自由贸易理论测验 1、【单选题】“两优取重，两劣取轻”是对比较优势理论的高度概括，这一理论是由经济学家（ ）提出的。 A、亚当斯密 B、大卫休谟 C、大卫李嘉…...

编程日记 2023/2/14 2:47:54

从“村办企业”到“百亿集团”，红星实业何以完成“蝶变”？

在长沙，你一定知道红星水果批发市场。但你大概率不知道的是，水果批发并不是红星的全部。这家位于长沙市雨花区的企业，已经是一家资产超百亿的现代企业集团。而在30年前，他还只是一家村办集体企业。相较于多年前就闻名全国的华西…...

编程日记 2023/2/14 2:54:46

不会Python也能分析？从业以来，我写过最心痛的一次数据分析

本文谨纪念那些英雄，也为了给大家敲响警钟，可能我们的一次随意、一次疏忽、一次不留意，背后就是惨痛的代价。几天前，四川凉山这个熟悉的名字，又再次上了热搜：那些英雄，永远离开了我们。悲痛之…...

编程日记 2023/2/14 2:50:08

从“靠山吃山，靠水吃水”到守望“绿水青山”

新华社北京1月31日电题：从“靠山吃山，靠水吃水”到守望“绿水青山” 新华社记者丁玫徐海波潘德鑫 “靠山吃山，靠水吃水”，是中国百姓祖祖辈辈信守的生存方式。站在新的历史起点上，随着“绿水青山就是金山银山”的发…...

编程日记 2023/2/14 2:51:37

[英语语法]句法之定语从句

本博文源于《语法知识清单》，讲述三大从句之一的定语从句。在复合句中作定语，修饰名词、代词等的从句叫定语从句。在复合句中，被定语从句修饰的名词、代词等，叫做先行词。引导定语从句的词被称为关系词。定语从句的作用相当于形容…...

编程日记 2023/2/14 2:40:10

英语--定语从句疑难解答

本系列博客讲述了本学渣在学习英语碰到的问题：）目录 1 先行词是哪个？1.1 先行词+副词+which/that引导的定从1.2 先行词+介词短语+which/that引导的定从2 Where也可以引导定语从句？3 什么时候关系代词不可以省略？3.1 当关系代词作从句的主语时，关系代词不能省略！3.2 对…...

编程日记 2023/2/14 2:42:13

动词ing形式做定语的用法总结

动词ing形式做定语的用法总结文章目录动词ing形式做定语的用法总结●-ing形式做定语通常从以下四个方面考查1)说明被修饰词的性质，特征或用途。2)与被修饰词为主动关系且表示正在进行的动作。3)有些-ing形式已经转化成形容词，常做定语用来修饰物&#x…...

编程日记 2023/2/14 2:42:08

在定语从句中which和that用法有什么区别

在定语从句中,which 和that 在指代事物时,一般可以互换使用,但并非在任何情况下都是这样,这里介绍宜用that, 而不宜用which 的情况.①先行词为不定代词,all,much,something,everything,anything,nothing,none,the one等, 1.We should do all that is useful to the people .2.T…...

编程日记 2023/2/14 2:44:22

三定语从句（2021-11-04）

一、什么是定语只要听到 “…的” “名词” ，“…的” 就是修饰这个名词（短语）的定语成分。二、定语的成分 1.形容词作定语（包括形容词性物主代词） The nightingale brave and innocent died.（形容词…...

编程日记 2023/2/14 2:41:11

【定语从句练习题】 which 修饰句子

1. which or what which 指代整个句子 ，而 what 同之前用法一致 1.which，非限，整个句子作为先行词 2.what，缺少宾语，the things that 3.what 4.which, 修饰前面这个句子 5.what 6.which 7.which，非限&am…...

编程日记 2023/2/14 2:42:30

【定语从句练习题】分词结构做后置定语修饰前面的名词

1. 改写训练 Most of the people who were hoping to see the President remained calm, but a minority of those who were moved on by police became violent, and organisers claim that several of the people who were arrested suffered injuries. 2. 改写训练将句…...

编程日记 2023/2/14 2:44:12

which语句c语言例子,用which引导的定语从句讲解和句子举例

用which引导的定语从句讲解和句子举例导语：用which引导的定语从句知识大家都了解多少呢?以下是小编为大家整理的文章，欢迎阅读!希望对大家有所帮助!第一、which在句子中作主语或宾语which在定语从句中既可用作主语，也可以用作宾语;作宾语时还…...

编程日记 2023/2/14 2:41:43

【考研英语语法】定语从句全面介绍

0 定语从句练习题定语从句：描述事物特征的特定类型，或修饰某个名词，可以联想到形容词的作用主题习题地址1. who、which点击跳转2. That 、who、whom、省略点击跳转3. 介词提前的定语从句点击跳转4. what(引导名词性从句)点击跳转5. whose…...

编程日记 2023/2/14 2:40:49

英语语法长难句——定语和定语从句

定语 1、什么是定语？ 定语就是修饰名词的成分。只要听到…的名词，…的就是修饰这个名词的定语成分。 2、定语的成分 1） 形容词作定语 The innocent nightingale died.The nightingale brave and innocent died. 2）名词修饰名…...

编程日记 2023/2/14 2:46:24

定语从句的用法讲解

18.1 关系代词引导的定语从句　　关系代词所代替的先行词是人或物的名词或代词，并在句中充当主语、宾语、定语等成分。关系代词在定语从句中作主语时，从句谓语动词的人称和数要和先行词保持一致。 1）who, whom, that 　这些词代替的先行词…...

编程日记 2023/2/14 2:42:53

专升本英语——语法知识——高频语法——第四节定语从句（限制性定语从句-非限制性定语从句）【学习笔记】

全部知识点请进入：专升本英语——学习笔记【知识点全轻松学习】！！！ https://blog.csdn.net/liu17234050/article/details/104576823 目录： 一：定语从句简表二：定语从句思维导图三&#xff…...

编程日记 2023/2/14 2:42:49

定语从句的用法

文章目录1、关系代词2、关系副词3、连词1、关系代词定语从句：在居中做定语，修饰一个名词或代词，被修饰的名词，叫先行词。其后的从句就是定语从句，由关系词（关系代词或关系副词）引出。关系代…...

编程日记 2023/2/14 2:46:04

GDAL 影像金字塔建立

GDAL 影像金字塔建立...

编程日记 2023/2/14 2:41:14

java实现金字塔

public class 一维数组 {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubint a[] {1,2,3,4,5,6};char b*;char c ;int temp 0;for (int i0;i<a.length;i) {for(int ja.length-a[i];j>0;j--) {System.out.print(c);}for(int k0;k<a[i];k…...

编程日记 2023/2/14 2:42:41

javascript 金字塔

<!DOCTYPE html> <html lang"en"> <head><meta charset"UTF-8"><title>Document</title><script type"text/javascript">document.write("<p aligncenter>");for(var i1;i<5;i){...

编程日记 2023/2/14 2:44:26

java输出倒立金字塔

import java.util.Scanner; public class Ch1_1_1 {public static void main(String[] args) {int i, j, k, n;Scanner input new Scanner(System.in);System.out.print("请输入金字塔的层数");n input.nextInt();for (i 1; i < n; i) {for (j 0; j < i - …...

编程日记 2023/2/14 2:43:39

c++输出金字塔

时间限制：C/C 1秒，其他语言2秒空间限制：C/C 32768K，其他语言65536K 64bit IO Format: %lld 题目描述请编写程序输出金字塔图形。输入描述: 多个测试数据。每个测试数据输入一个整数n(1 < n < 9) 输出描述: 输出金字塔示…...

编程日记 2023/2/14 2:43:42

秒懂 Java BlockingQueue

本文中，我们将介绍一个 java.util.concurrent 包提供的用于解决并发生产者 - 消费者问题的最有用的类 - BlockQueue。我们将介绍BlockingQueue 接口的 API 以及如何使用该接口的方法使编写并发程序更容易。在本文的后面，我们将展示一个具有多个生产者线…...

编程日记 2023/2/14 2:42:25

python 金字塔_Python金字塔

托伦，函数中有几个小错误和一个逻辑问题print_y_to_a()请注意，此函数生成一个以z开头的字符串，但您希望将字符串以相反的方向连接，而您的另一个函数print_a_to_y()确实停止了(1位置)。例如：^{pr2}$还要注意&#xff0c…...

编程日记 2023/2/14 2:41:39

嵌入式linux-进程状态与进程关系

1. 进程状态 1.1什么是进程状态 Linux 系统下进程通常存在 6 种不同的状态，分为：就绪态、运行态、僵尸态、可中断睡眠状态（浅度睡眠）、不可中断睡眠状态（深度睡眠）以及暂停态。下面我们来一一总结一下&…...

编程日记 2023/2/14 2:45:59

暴风影音.Home of VobSub, Media Player Classic (MPC) and other misc utils.

http://sourceforge.net/projects/guliverkli/ Home of VobSub, Media Player Classic (MPC) and other misc utils. Latest File ReleasesPackage Version Date Notes / Monitor Download Asf to Matroska Recorderasf2mkv recorder 1.01January 11, 2004 - DownloadAVI &l...

编程日记 2023/2/14 2:42:34