对于向量 $\mathbf{a}=[a_1,a_2,a_3]$, 其反对称矩阵为$\mathbf{a}\hat{}=[\mathbf{a}\times ]=\left[\begin{array}{ccc}0& -a_3& a_2\\ a_3& 0& -a_1\\ -a_2& a_1& 0\end{array}\right]$

• 对于反对称矩阵$a\times$,存在反交换性 ：
  $\mathbf{a}\times =-[\mathbf{a}\times {]}^T$

• 叉乘顺序互换，叉乘结果大小不变，方向相反
  $[\mathbf{a}\times ]\mathbf{b}=-[\mathbf{b}\times ]\mathbf{a}$
  ${\mathbf{a}}^T[\mathbf{b}\times ]=-{\mathbf{b}}^T[a\times ]$

• 反对称矩阵相加
  $[\mathbf{a}\times ]+[\mathbf{b}\times ]=[\mathbf{a}+\mathbf{b}]\times$

• 标量点乘反对称矩阵
  $c\cdot [\mathbf{a}\times ]=[c\mathbf{a}\times ]$

• 向量与自己叉乘等于0向量
  $[\mathbf{a}\times ]\mathbf{a}=0$

• 对于旋转矩阵R，存在：
  $[\mathbf{Ra}\times ]=\mathbf{R}[\mathbf{a}\times ]\mathbf{R}$
  $\mathbf{R}([\mathbf{a}\times ]\mathbf{b})=[\mathbf{Ra}\times ](\mathbf{Rb})$

• 混合积
  $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot (\mathbf{c}\times \mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot (\mathbf{a}\times \mathbf{b})$

• 向量三重积
  $\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=\mathbf{b}(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})-\mathbf{c}(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$
  $[\mathbf{a}\times ][\mathbf{b}\times ]=\mathbf{b}{\mathbf{a}}^T-{\mathbf{a}}^T\mathbf{b}{\mathbf{I}}_3$

• 二次幂公式
  $[\mathbf{a}\times ][\mathbf{a}\times ]=\mathbf{a}{\mathbf{a}}^T-||\mathbf{a}|{|}_2^2{I}_3$

• 当$\mathbf{a}$不为零向量时
  $\mathbf{a}\times$的秩为2，必有一维零空间，且$\mathbf{a}$是其中的一个解

参考 ：https://zhuanlan.zhihu.com/p/435306687