英雄力量【LC2681】

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，它表示英雄的能力值。如果我们选出一部分英雄，这组英雄的 力量 定义为：

• i0 ，i1 ，… ik 表示这组英雄在数组中的下标。那么这组英雄的力量为 max(nums[i0],nums[i1] ... nums[ik])2 * min(nums[i0],nums[i1] ... nums[ik]) 。

请你返回所有可能的 非空 英雄组的 力量 之和。由于答案可能非常大，请你将结果对 109 + 7 取余。

妙哉

• 思路

  • 对于子序列而言，数组元素顺序不影响结果，因此先将数组排序

  • 枚举每个元素作为子序列的最小值，那么元素$nums[i]$作为最小值的子序列的贡献为
    $$\begin{gathered} nums[i]\ast (nums[i{]}^2+nums[i+1{]}^2+2\ast nums[i+2{]}^2...+2^{n-i-2}\ast nums[n-1]) \\ =nums[i{]}^3+nums[i]\ast (nums[i+1{]}^2+2\ast nums[i+2{]}^2...+2^{n-i-2}\ast nums[n-1]) \\ =nums[i{]}^3+p \end{gathered}$$

  • 实现时从右往左枚举左小指，先将$nums[i{]}^3$累加至结果，然后维护变量$p$，每次将$nums[i]\ast p$累加至结果，再令$p=p\ast 2+nums[i{]}^2$

• 实现

  class Solution {public int sumOfPower(int[] nums) {final int mod = (int) 1e9 + 7;Arrays.sort(nums);long ans = 0, p = 0;for (int i = nums.length - 1; i >= 0; --i) {long x = nums[i];ans = (ans + (x * x % mod) * x) % mod;ans = (ans + x * p % mod) % mod;p = (p * 2 + x * x % mod) % mod;}return (int) ans;}
  }作者：ylb
  链接：https://leetcode.cn/problems/power-of-heroes/solutions/2367175/python3javacgotypescript-yi-ti-yi-jie-pa-lgos/
  来源：力扣（LeetCode）
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  • 复杂度
    • 时间复杂度：$\mathcal{O}(\log n)$
    • 空间复杂度：$\mathcal{O}(n\log n)$